5. Polynomes et corps commutatifs

La théorie des corps commutatifs — et la théorie des polynômes, qui lui est étroitement liée — sont dérivées directement de ce qui a constitué, jusqu’au milieu du xixe siècle, l’objet principal de l’Algèbre classique : la résolution des équations algébriques, et des problèmes de constructions géométriques qui en sont l’équivalent.

Dès qu’on cherche à résoudre une équation algébrique de degré 1, on se trouve en présence de difficultés de calcul toutes nouvelles, la détermination de l’inconnue ne pouvant plus se faire par des calculs « rationnels » à partir des données. Cette difficulté a dû être aperçue de très bonne heure ; et il faut compter comme une des contributions les plus importantes des Babyloniens le fait qu’ils aient su ramener la résolution des équations quadratiques et bicarrées à une seule opération algébrique nouvelle, l’extraction des racines carrées (comme le prouvent les nombreuses équations numériques qu’on trouve résolues de cette manière dans les textes qui nous sont parvenus ([232], p. 183-193)). En ce qui concerne le calcul formel, l’Antiquité ne dépassera jamais ce point dans le problème de la résolution des équations algébriques ; les Grecs de l’époque classique se bornent en effet à retrouver les formules babyloniennes en termes géométriques, et leur emploi sous forme algébrique n’est pas attesté avant Héron (100 ap. J.-C.) et Diophante.

C’est dans une tout autre direction que les Grecs apportent un progrès décisif. Nous sommes mal renseignés sur la façon dont les Babyloniens concevaient et calculaient les racines carrées de nombres entiers non carrés \* : dans les rares textes qui nous sont parvenus sur cette question, ils semblent se contenter de méthodes d’approxi-

\* Dans tous les exemples d’équations quadratiques et bicarrées des textes babyloniens, les données sont toujours choisies de sorte que les radicaux portent sur des carrés.

mation assez grossières ([232], p. 33-38). L'école pythagoricienne, qui avait fixé avec rigueur le concept de grandeurs commensurables, et y attachait un caractère quasi religieux, ne pouvait se tenir à ce point de vue ; et il est possible que ce soit l'échec de tentatives répétées pour exprimer rationnellement $\sqrt{2}$ qui les conduisit enfin à démontrer que ce nombre est irrationnel *.

Nous dirons ailleurs (cf. p. 185) comment cette découverte, qui marque un tournant capital dans l'histoire des Mathématiques, réagit profondément sur la conception du « nombre » chez les Grecs, et les amena à créer une algèbre de caractère exclusivement géométrique, pour y trouver un mode de représentation (ou peut-être une preuve d'« existence ») pour les rapports incommensurables, qu'ils se refusaient à considérer comme des nombres. Le plus souvent, un problème algébrique est ramené par eux à l'intersection de deux courbes planes auxiliaires, convenablement choisies, ou à plusieurs déterminations successives de telles intersections. Des traditions tardives et de peu d'autorité font remonter à Platon l'introduction d'une première classification de ces constructions, destinées à une longue et brillante carrière : pour des raisons plus philosophiques que mathématiques, semble-t-il, il aurait mis à part les constructions dites « par la règle et le compas », c'est-à-dire celles où n'interviennent comme courbes auxiliaires que des droites et des cercles **. En tout cas, Euclide, dans ses Éléments [107], se borne exclusivement à traiter des problèmes résolubles de cette manière (sans toutefois les caractériser par un nom particulier) ; circonstance qui ne contribua pas peu sans doute à fixer sur ces problèmes l'attention des mathématiciens des

\* Un auteur récent a fait la remarque ingénieuse que la construction du pentagone étoilé régulier, connue des Pythagoriciens (dont c'était un des symboles mystiques) conduit immédiatement à une démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{5}$, et a émis l'hypothèse (qui malheureusement n'est appuyée par aucun texte) que c'est de cette manière que les Pythagoriciens auraient découvert les nombres irrationnels [323]. ** En liaison avec ce principe, on attribue aussi à Platon la classification des courbes planes en « lieux plans » (droite et cercle), « lieux solides » (les coniques, obtenues par section plane d'un corps solide, le cône), toutes les autres courbes étant groupées sous le nom de « τὸποι γραμμικοί ». Il est curieux de voir l'influence de cette classification s'exercer encore sur Descartes, qui, dans sa Géométrie, range dans un même « genre » les équations de degré $2n - 1$ et de degré $2n$, sans doute parce que celles de degré 1 ou 2 se résolvent par des intersections de « lieux plans » et celles de degré 3 ou 4 par des intersections de « lieux solides » ([85 a], t. VI, p. 392-393).

siècles suivants. Mais nous savons aujourd'hui \* que les équations algébriques qu’on peut résoudre « par la règle et le compas » sont d’un type très spécial ; en particulier, une équation irréductible du 3e degré (sur le corps des rationnels) ne peut se résoudre de la sorte, et les Grecs avaient rencontré très tôt des problèmes du 3e degré restés célèbres, tels la duplication du cube (résolution de $x^3 = 2$) et la trisection de l’angle ; la quadrature du cercle les mettait d’autre part en présence d’un problème transcendant. Nous les voyons, pour résoudre ces problèmes, introduire de nombreuses courbes algébriques (coniques, cissoïde de Dioclès, conchoïde de Nicomède) ou transcendantes (quadratrice de Dinostrate, spirale d’Archimède) ; ce qui ne pouvait manquer de les conduire à une étude autonome de ces diverses courbes, préparant ainsi la voie aux développements futurs de la Géométrie analytique, de la Géométrie algébrique et du Calcul infinitésimal. Mais ces méthodes ne font faire aucun progrès à la résolution des équations algébriques **, et le seul ouvrage de l’Antiquité qui ait apporté une contribution notable à cette question et exercé une influence durable sur les algébristes du Moyen âge et de la Renaissance est le Livre X des Éléments d’Euclide [107]; dans ce Livre (dont certains historiens voudraient faire remonter les principaux résultats à Théétète), il considère des expressions obtenues par combinaison de plusieurs radicaux, telles que $\sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$ ($a$ et $b$ rationnels), donne des conditions moyennant lesquelles ces expressions sont irrationnelles, les classe en de nombreuses catégories

\* La détermination des points d’intersection d’une droite et d’un cercle (ou de deux cercles) équivaut à la résolution d’une équation du second degré dont les coefficients sont fonctions rationnelles des coefficients des équations de la droite et du cercle (ou des deux cercles) considérés. On en conclut aisément que les coordonnées d’un point construit « par la règle et le compas » à partir de points donnés appartiennent à une extension $L$ du corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, obtenue comme suit : si $K$ est le corps obtenu en adjoignant à $\mathbf{Q}$ les coordonnées des points donnés, il existe une suite croissante $(L_i)_{0 \leq i \leq n}$ de corps intermédiaires entre $K$ et $L$, satisfaisant aux conditions $K = L_0, L = L_n, [L_i : L_{i-1}] = 2$ pour $1 \leq i \leq n$. Par récurrence sur $n$, on en déduit que le degré sur $K$ de l’extension galoisienne $N$ engendrée par $L$ est une puissance de 2 ; réciproquement, on peut démontrer que, si cette condition est vérifiée, il existe une suite $(L_i)$ de corps intermédiaires entre $K$ et $L$ ayant les propriétés précédentes, et par suite le problème posé est résoluble par la règle et le compas (cf. [3/2], p. 351-366).

** Faute d’un calcul algébrique maniable, on ne trouve pas trace chez les Grecs d’une tentative de classification des problèmes qu’ils ne savaient pas résoudre par la règle et le compas : les Arabes sont les premiers à ramener de nombreux problèmes de cette espèce (par exemple la construction des polygones réguliers à 7 et 9 côtés) à des équations du 3e degré.

(qu’il démontre être distinctes), et étudie les relations algébriques entre ces diverses irrationnelles, telle que celle que nous écririons aujourd’hui

le tout exprimé dans le langage géométrique habituel des Eléments, ce qui rend l’exposé particulièrement touffu et incommode.

Après le déclin des mathématiques grecques classiques, les conceptions relatives aux équations algébriques se modifient. Il ne fait pas de doute que, pendant toute la période classique, les Grecs possédaient des méthodes d’approximation indéfinie des racines carrées, sur lesquelles nous sommes malheureusement mal renseignés *. Avec les Hindous, puis les Arabes et leurs émules occidentaux du Moyen Age, l’extraction des racines de tous ordres devient une opération qui tend à être considérée comme fondamentale au même titre que les opérations rationnelles de l’algèbre, et à être notée, comme ces dernières, par des symboles de plus en plus maniables dans les calculs **. La théorie de l’équation du second degré, qui se perfectionne durant tout le Moyen Age (nombre de racines, racines négatives, cas d’impossibilité, racine double), et celle des équations bicarrées, donnent des modèles de formules de résolution d’équations « par radicaux », sur lesquelles les algébristes vont essayer pendant des siècles de calquer des formules analogues pour la résolution des équations de degré supérieur, et en premier lieu pour l’équation du 3e degré. Léonard de Pise, le principal introducteur de la science arabe en Occident au XIIIe siècle, reconnaît en tout cas que les irra-

\* Par exemple, la méthode d’Archimède pour le calcul approché du nombre $\pi$ nécessite la connaissance de plusieurs racines carrées, avec une assez grande approximation, mais nous ignorons le procédé employé par Archimède pour obtenir ces valeurs. La méthode d’approximation de $\sqrt{2}$ qui fournit le développement de ce nombre en « fraction continuée » est connue (sous forme géométrique) par un texte de Théon de Smyrne (IIe siècle après J.-C.), mais remonte peut-être aux premiers pythagoriciens. Quant à la méthode d’approximation indéfinie des racines carrées encore en usage de nos jours dans l’enseignement élémentaire, elle n’est pas attestée avant Théon d’Alexandrie (IVe siècle après J.-C.), bien qu’elle ait sans doute été déjà connue de Ptolémée. Notons enfin qu’on trouve chez Héron (vers 100 ap. J.-C.) un calcul approché d’une racine cubique [103].

** L’irrationalité de $\sqrt[n]{a}$, lorsque $a$ est un entier qui n’est pas une puissance $n$-ème exacte, n’est pas mentionnée ni démontrée avant Stifel (XVIe siècle); la démonstration de ce dernier ([298], f. 103) est d’ailleurs calquée sur celle d’Euclide pour $n = 2$, et il est assez peu vraisemblable que cette généralisation facile n’ait pas été aperçue plus tôt.

tionnelles classées par Euclide dans son Xe livre ne peuvent servir à cette fin (nouvelle démonstration d'impossibilité, dans une théorie qui en compte tant), et nous le voyons déjà s'essayer à des calculs analogues sur les racines cubiques, obtenant des relations telles que

et prend soin de donner explicitement les règles de calcul des nombres complexes sous une forme déjà très voisine des exposés modernes *. Enfin, dès 1545, un autre élève de Cardan, L. Ferrari, parvient à résoudre l’équation générale du 4e degré, à l’aide d’une équation auxiliaire du 3e degré **.

Après une avance aussi rapide, la période suivante, jusqu’au milieu du xviiiie siècle, ne fait guère que développer les nouvelles idées introduites par l’école italienne. Grâce aux progrès essentiels qu’il apporte à la notation algébrique, Viète peut exprimer de façon générale les relations entre coefficients et racines d’une équation algébrique, tout au moins lorsque les racines sont toutes positives *** ([319], p. 158). Plus hardi, A. Girard [129] n’hésite pas à affirmer (bien entendu sans démonstration) qu’une équation de degré $n$ a exactement $n$ racines, à condition de compter les « racines impossibles », chacune avec son degré de multiplicité, et que ces racines satisfont aux relations données par Viète ; il obtient aussi, pour la première fois, l’expression des sommes de puissances semblables des racines, jusqu’à l’exposant 4.

Mais l’esprit du xviiie siècle est tourné vers d’autres directions et ce n’est que par contrecoup que l’Algèbre profite quelque peu des nouvelles découvertes de la Géométrie analytique et du Calcul infinitésimal. Ainsi, à la méthode de Descartes pour obtenir les tangentes aux courbes algébriques (cf. p. 221) est lié le critère de multiplicité d’une racine d’une équation algébrique, qu’énonce son disciple Hudde ([85 b], t. I, p. 433 et 507-509). C’est sans doute aussi à l’influence de Descartes qu’il faut faire remonter la distinction entre fonctions algébriques et fonctions transcendantes, parallèle à celle qu’il introduit dans sa Géométrie entre les courbes « géomé-

\* Bombelli ([28 a], p. 169 et 190) considère les nombres complexes comme « combinaisons linéaires » à coefficients positifs, de quatre éléments de base : « piu » (+1), « meno » (−1), « piu de meno » (+$i$) et « meno de meno » (−$i$) ; il pose notamment en axiome que « piu » et « piu de meno » ne s’additionnent pas, première apparition de la notion d’indépendance linéaire. L’équation étant ramenée à la forme $x^4 = ax^2 + bx + c$, on détermine un nombre $z$ de sorte que le second membre de l’équation

triques » et les courbes « mécaniques » (cf. p. 219 et 242.) En tout cas, cette distinction est parfaitement nette chez J. Gregory qui, en 1667, cherche même à démontrer que l’aire d’un secteur circulaire ne peut être fonction algébrique de la corde et du rayon ([136 a]; cf. [155]). L’expression « transcendant » est de Leibniz, que ces questions de classification ne cessent d’intéresser tout au long de sa carrière, et qui, vers 1682, découvre une démonstration simple du résultat poursuivi par Gregory, en prouvant que sin x ne peut être fonction algébrique de x ([198 a], t. V, p. 97-98) *. Avec son ami Tschirnhaus, il est d’ailleurs un des seuls mathématiciens de son époque qui s’intéresse encore au problème de la résolution « par radicaux » des équations algébriques. À ses débuts, nous le voyons étudier le « cas irréductible » de l’équation du 3e degré, et se convaincre (d’ailleurs sans preuve suffisante) qu’il est impossible dans ce cas de débarrasser les formules de résolution de quantités imaginaires ([198 d], p. 547-564). Vers la même époque, il s’attaque aussi sans succès à la résolution par radicaux de l’équation du 5e degré ; et quand, plus tard, Tschirnhaus prétend résoudre le problème en faisant disparaître tous les termes de l’équation sauf les deux extrêmes par une transformation de la forme $y = P(x)$, où P est un polynôme du 4e degré convenablement choisi, Leibniz s’aperçoit aussitôt que les équations qui déterminent les coefficients de P(x) sont de degré > 5, et estime la méthode vouée à l’échec ([198 d], p. 402-403).

Il semble que ce soient les besoins de la nouvelle Analyse qui aient peu à peu ranimé l’intérêt porté à l’algèbre. L’intégration des fractions rationnelles, effectuée par Leibniz et Johann Bernoulli, et la question des logarithmes imaginaires qui s’y rattache étroitement, donnent l’occasion d’approfondir le calcul sur les nombres imaginaires, et de reprendre la question de la décomposition d’un polynôme en

\* La définition que donne Leibniz des « quantités transcendantes » ([198 a], t. V, p. 228 ; voir aussi ibid., p. 120) semble plutôt s’appliquer aux fonctions qu’aux nombres (en langage moderne, ce qu’il fait revient à définir les éléments transcendants sur le corps obtenu en adjoignant au corps des nombres rationnels les données du problème) ; il est cependant vraisemblable qu’il avait une notion assez claire des nombres transcendants (encore que ces derniers ne paraissent pas avoir été définis de façon précise avant la fin du xviiie siècle) ; en tout cas, il observe explicitement qu’une fonction transcendante peut prendre des valeurs rationnelles pour des valeurs rationnelles de la variable, et par suite que sa démonstration de la transcendance de sin x n’est pas suffisante pour prouver que $\pi$ est irrationnel ([198 a], t. V, p. 97 et 124-126).

facteurs du premier degré (« théorème fondamental de l’algèbre ») *. Dès le début du xviiie siècle, la résolution de l’équation binôme $x^n - 1 = 0$ est ramenée par Cotes et de Moivre à la division du cercle en $n$ parties égales ; pour obtenir des expressions de ses racines « par radicaux », il suffit donc de savoir le faire lorsque $n$ est premier impair, et de Moivre remarque que la substitution $y = x + \frac{1}{x}$ réduit alors le problème à la résolution « par radicaux » d’une équation de degré $(n - 1)/2$. En ce qui concerne le « théorème fondamental », après les échecs répétés de résolution générale « par radicaux » (y compris plusieurs tentatives d’Euler ([108 a], (1), t. VI, p. 1-19 et 170-196)), on commence à en chercher des démonstrations $a$ priori, n’utilisant pas de formules explicites de résolution. Sans entrer dans le détail des méthodes proposées (qui devaient aboutir aux démonstrations de Lagrange et de Gauss ; cf. p. 118 et 200), il convient de noter ici le point de vue duquel le problème est envisagé au milieu du xviiie siècle : on admet (sans aucune justification autre qu’un vague sentiment de généralité, provenant sans doute, comme chez A. Girard, de l’existence des relations entre coefficients et racines) qu’une équation de degré $n$ a toujours $n$ racines « idéales », sur lesquelles on peut calculer comme sur des nombres, sans savoir si ce sont des nombres (réels ou complexes) ; et ce qu’il s’agit de démontrer, c’est (en se servant au besoin de calculs sur les racines idéales) qu’au moins une de ces racines est un nombre complexe ordinaire **. Sous cette forme défectueuse, on reconnaît là le premier germe de l’idée générale d’ « adjonction formelle » qui, malgré les objections de Gauss ([124 a], t. III, p. 1), devait devenir la base de la théorie moderne des corps commutatifs.

Avec les mémoires fondamentaux de Lagrange ([191], t. III, p. 205-421) et de Vandermonde [315], l’année 1770 voit s’ouvrir une nouvelle et décisive période dans l’histoire de la théorie des

• On se rend bien compte de l’état rudimentaire où se trouvait encore le calcul sur les nombres complexes à cette époque lorsqu’on voit Leibniz (un des plus exercés pourtant à cette technique, parmi les mathématiciens de son temps) s’exprimer comme s’il n’était pas possible de décomposer $x^4 + 1$ en deux facteurs réels du second degré ([198 a], t. V, p. 359-360). ** Il est à noter que ce que les mathématiciens du xviiie siècle appellent « racines imaginaire » ne sont souvent que les racines « idéales » précédentes, et ils cherchent à démontrer que ces racines sont de la forme $a + b \sqrt{-1}$ (voir par exemple [191], t. III, p. 479).

équations algébriques. À l’empirisme des essais plus ou moins heureux de formules de résolution, qui avait jusque-là régné sans partage, va succéder une analyse systématique des problèmes posés et des méthodes susceptibles de les résoudre, analyse qui en soixante ans conduira aux résultats définitifs de Galois. Lagrange et Vandermonde partent tous deux de l’ambiguïté qu’introduisent les déterminations multiples des radicaux dans les formules de résolution des équations de degré $\leq 4$; ce fait avait attiré l’attention d’Euler ([108 a], (1), t. VI, p. 1-19) qui avait montré entre autres comment, dans la formule de del Ferro, on doit associer les déterminations des radicaux qui y figurent de façon à obtenir 3 racines, et non 9.* Lagrange remarque que chacun des radicaux cubiques de la formule de del Ferro peut s’écrire sous la forme $\frac{1}{3}(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$, où $\omega$ est une racine cubique de l’unité, $x_1, x_2, x_3$ les trois racines de l’équation proposée, prises dans un certain ordre, et il fait l’observation capitale que la fonction $(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)^3$ des trois racines ne peut prendre que deux valeurs distinctes pour toute permutation des trois racines, ce qui explique a priori le succès des méthodes de résolution de cette équation. Une analyse semblable des méthodes de résolution de l’équation du 4e degré l’amène à la fonction $x_1 x_2 + x_3 x_4$ des quatre racines, qui ne prend que trois valeurs distinctes pour toute permutation des racines, et est par suite racine d’une équation du troisième degré à coefficients rationnels de ceux de l’équation donnée; ces faits constituent, dit Lagrange, « les vrais principes, et, pour ainsi dire, la métaphysique* de la résolution des équations du 3e et du 4e degré » ([191], t. III, p. 357). S’appuyant sur ces exemples, il se propose d’étudier en général, pour une équation de degré $n$, le nombre $v$ de valeurs**** que peut prendre une fonction rationnelle $V$ des $n$ racines quand on permuté arbitrairement celles-ci ; il inaugure ainsi en réalité (sous cette terminologie

\* Voir note \* de la p. 96 : on doit avoir $yz = -a/3$. Waring fait aussi cette observation dans ses Meditationes algebraicae, parues en cette même année 1770, mais il est loin d’en tirer les mêmes conséquences que Lagrange. * Sous ce mot, qui revient si souvent sous la plume des auteurs du xviiiie siècle, il est permis de voir une première intuition (encore bien vague) de la conception moderne de structure. **** Lagrange fait déjà la distinction entre les diverses fractions rationnelles qu’on obtient à partir de $V$ par permutation des indéterminées $x_i (1 \leq i \leq n)$, et les diverses valeurs que prennent ces fractions lorsque les $x_i$ sont les racines d’une équation algébrique à coefficients numériques donnés ; mais il subsiste encore dans son exposé un certain flottement à ce sujet, et c’est seulement avec Galois que la distinction deviendra plus nette.

encore étroitement adaptée à la théorie des équations) la théorie des groupes et celle des corps, dont il obtient déjà plusieurs résultats fondamentaux par l’utilisation des mêmes principes que ceux qui sont employés aujourd’hui. Par exemple, il montre que le nombre ν est un diviseur de n !, par le raisonnement qui sert aujourd’hui à prouver que l’ordre d’un sous-groupe d’un groupe fini divise l’ordre de ce groupe. Plus remarquable encore est le théorème où il montre que, si V₁ et V₂ sont deux fonctions rationnelles des racines telles que V₁ et V₂ restent invariantes par les mêmes permutations, alors chacune d’elles est fonction rationnelle de l’autre et des coefficients de l’équation (cas particulier du théorème de Galois caractérisant une sous-extension d’une extension galoisienne comme corps des invariants de son groupe de Galois) : « Ce problème », dit-il, « me paraît un des plus importants de la théorie des équations, et la Solution générale que nous allons en donner servira à jeter un nouveau jour sur cette partie de l’Algèbre » ([191], t. III, p. 374).

Toutes ces recherches sont naturellement, dans l’esprit de Lagrange, des préliminaires à l’analyse des méthodes possibles de résolution des équations algébriques par réduction successive à des équations de moindre degré, une telle méthode étant liée, comme il le montre, à la formation de fonctions rationnelles des racines prenant moins de n valeurs par permutation des racines. Guidé sans doute par ses résultats sur l’équation du 3e degré, il introduit en général les « résolvantes de Lagrange » $y_k = \sum_{h=1}^n \omega_k^h x_h$, où $\omega_k$ est une racine n-ème de l’unité ($1 \leq k \leq n$), montre clairement comment la connaissance de ces n nombres entraîne celle des racines $x_k$, et recherche en général le degré de l’équation à laquelle satisfont les $y_k$; il montre par exemple que, si n est premier, les $y_k$ sont racines d’une équation de degré $n - 1$, dont les coefficients sont fonctions rationnelles d’une racine d’une équation de degré $(n - 2)!$ à coefficients qui s’expriment rationnellement à l’aide des coefficients de l’équation donnée. « Voilà, si je ne me trompe », conclut-il, « les vrais principes de la résolution des équations, et l’analyse la plus propre à y conduire ; tout se réduit, comme on le voit, à une espèce de calcul des combinaisons, par lequel on trouve a priori les résultats auxquels on doit s’attendre » ([191], t. III, p. 403).

Quant au mémoire de Vandermonde, indépendant de celui de Lagrange, il se rencontre en de nombreux points avec ce dernier, notamment en ce qui concerne l’idée de rechercher des fonctions rationnelles des racines prenant aussi peu de valeurs distinctes que possible par les permutations des racines *, et l’étude des « résolvantes de Lagrange » qu’il introduit aussi à cet effet. Son travail est loin d’avoir la clarté et la généralité de celui de Lagrange ; sur un point cependant il va nettement plus loin, en appliquant les mêmes idées à l’équation de la division du cercle $x^n - 1 = 0$ pour $n$ premier impair. Alors que Lagrange se contente de rappeler que cette équation se ramène à une équation de degré $m = (n - 1)/2$, à coefficients rationnels, sans chercher à la résoudre lorsque $n \geq 11$, Vandermonde affirme que les puissances $m$-èmes des résolvantes de Lagrange de cette équation sont rationnelles, en raison des relations entre les diverses racines de $x^n - 1 = 0$; mais il se borne à vérifier le bien-fondé de cette assertion pour le cas $n = 11$, sans la justifier de manière générale.

C’est seulement 30 ans plus tard que le résultat annoncé par Vandermonde fut complètement démontré par C. F. Gauss . Ses résultats décisifs sur l’équation $x^n - 1 = 0$ ($n$ premier impair) s’insèrent dans le programme général de ses mémorables recherches arithmétiques ([124 a], t. I, p. 413 et suiv.), et illustrent tout spécialement sa maîtrise dans le maniement de ce que nous appelons maintenant la théorie des groupes cycliques. Après avoir démontré que le polynôme $\Phi_n(x) = (x^n - 1)/(x - 1)$ est irréductible pour $n$ premier impair *, il a l’idée d’écrire ses $n - 1$ racines sous la forme $\zeta^{gk} = \zeta_k$ ($0 \leq k \leq n - 2$), où $g$ est racine primitive de la congruence $z^{n-1} \equiv 1$ (mod. $n$) (ce qui, en langage moderne, revient à mettre en évidence le fait que le groupe $\Gamma$ de l’équation $\Phi_n(x) = 0$ est cyclique). À tout diviseur $e$ de $n - 1$, il fait correspondre les $f = (n - 1)/e$ « périodes » $\eta_v = \xi_v + \xi_{v-f} + \xi_{v+2f} + \ldots + \xi_{v+(e-1)f}$ ($1 \leq v \leq f$) et

\* Dans cette recherche (qu’il ne développe en fait que pour l’équation du 5e degré) apparaît pour la première fois la notion d’imprimitivité ([315], p. 390-391). On est d’ailleurs naturellement tenté de rapprocher les méthodes de Lagrange et Vandermonde de leurs travaux contemporains sur les déterminants, qui devaient leur rendre familière l’idée de permutation et tout ce qui s’y rattache. Gauss ne cite pas Vandermonde dans ses Disquisitiones, mais il est vraisemblable qu’il avait lu le mémoire de ce dernier (cf. [124a], t. X2, Abh. 4, p. 58). * La notion de polynôme irréductible (à coefficients rationnels) remonte au xviiie siècle, et Newton et Leibniz avaient déjà donné des procédés permettant (tout au moins théoriquement) de déterminer les facteurs irréductibles d’un polynôme à coefficients rationnels explicités ([198 a], t. IV, p. 329 et 355); mais la démonstration de Gauss est la première démonstration d’irréductibilité s’appliquant à tout un ensemble de polynômes de degré arbitrairement grand.

montre en substance que les combinaisons linéaires à coefficients rationnels des $\eta_v$ forment un corps, engendré par une quelconque des $f$ périodes $\eta_v$ et de degré $f$ sur le corps des nombres rationnels (ce corps correspondant naturellement au sous-groupe de $\Gamma$ d’ordre $e$). Nous ne pouvons ici entrer dans le détail de son analyse, et des importantes conséquences arithmétiques qu’elle entraîne ; signalons seulement qu’elle lui donne en particulier le célèbre théorème sur la possibilité de construire « par la règle et le compas » les polygones ayant un nombre de côtés égal à un nombre premier de la forme $2^{2^k} + 1$. Quant à la résolution par radicaux de l’équation $\Phi_n(x) = 0$, elle découle aisément de la théorie des périodes, appliquée à la puissance $f$-ème d’une résolvante de Lagrange $\sum_{v=0}^{f-1} \omega^v \eta_v$ (où $\omega^f = 1$) **.

C’est directement à Lagrange que se rattachent les recherches de son compatriote Ruffini [265], contemporaines des Disquisitiones ; reprenant la question au point où Lagrange l’avait laissée, elles se proposent pour but la démonstration de l’impossibilité de la résolution « par radicaux » de l’équation « générale » du 5e degré. La démonstration de Ruffini, prolixe et obscure, reste incomplète bien que remaniée à plusieurs reprises ; mais elle est déjà très voisine de la démonstration (correcte dans son principe) qu’obtiendra plus tard Abel *. Son principal intérêt réside surtout dans l’introduction du calcul sur les substitutions et des premières notions de théorie

\* Gauss affirme explicitement posséder une démonstration du fait que ce cas est le seul où l’on puisse construire par la règle et le compas un polygone ayant un nombre premier impair de côtés ([124 a], t. I, p. 462); mais cette démonstration ne fut jamais publiée et n’a pas été retrouvée dans ses papiers. En réalité, si on veut uniquement prouver que l’équation est résoluble par radicaux, on peut se borner à prendre $e = 1$, en raisonnant par récurrence sur $n$. * Les mathématiciens du xixe siècle entendent par là, en substance, une équation dont les coefficients sont des indéterminées sur le corps des rationnels. Mais la notion moderne d’indéterminée ne se dégage guère avant les dernières années du xixe siècle ; jusque-là, on entend toujours par « polynôme » ou « fraction rationnelle » une fonction de variables complexes. Une équation algébrique « générale » est conçue comme une équation dont les coefficients sont des variables complexes indépendantes, et dont les racines sont des « fonctions algébriques » de ces variables — notion à vrai dire totalement dénuée de sens précis si on donne au mot « fonction » son sens actuel. Bien entendu, les raisonnements sur ces « fonctions algébriques » sont en général intrinsèquement corrects, comme on s’en assure en les traduisant dans le langage algébrique moderne. **** Les articles de Ruffini ont été très soigneusement analysés dans [43].

des groupes, que Ruffini développe pour montrer qu’il n’existe pas de fonction des 5 racines de l’équation prenant plus de 2 et moins de 5 valeurs lorsqu’on permuté arbitrairement les racines.

Nous avons déjà dit (voir p. 73) comment cette première ébauche de la théorie des groupes de permutations fut développée et systématisée par Cauchy quelques années plus tard. Mais, si les notions nécessaires au développement des idées de Lagrange se clarifiaient ainsi peu à peu en ce qui concerne les substitutions, il fallait encore poser de façon aussi nette les premiers principes de la théorie des corps. C’est ce qui avait manqué à Ruffini, et c’est ce que vont faire Abel et Galois, dans la dernière phase du problème de la résolution des équations algébriques.

Pendant toute sa courte vie, Abel ne cesse d’être préoccupé par ce problème. Presque enfant encore, il avait cru obtenir une formule de résolution par radicaux de l’équation générale du 5e degré. S’étant plus tard aperçu de son erreur, il n’a de cesse qu’il ne soit parvenu à démontrer qu’une telle formule n’existe pas ([I], t. I, p. 66). Mais il ne s’en tient pas là. Alors que son émule Jacobi développe la théorie des fonctions elliptiques en analyste, c’est le point de vue algébrique qui domine les travaux d’Abel sur cette question, centrés sur la théorie des équations de la division des fonctions elliptiques ([I], t. I, p. 265, 377 et passim). Il obtient ainsi de nouveaux types d’équations résolubles par radicaux par une méthode calquée sur celle de Gauss pour les équations de la division du cercle ([I], t. I, p. 310 et 358) \* ; résultat d’où il s’élève à la conception des équations « abéliennes », dont il démontre, dans un mémoire célèbre, la résolubilité par radicaux ([I], t. I, p. 478) ; c’est à cette occasion qu’il définit de façon précise la notion de polynôme irréductible sur un corps donné (le corps engendré par les coefficients de l’équation qu’il étudie)**

\* Gauss avait déjà indiqué, dans les Disquisitiones, la possibilité de généraliser ses méthodes aux équations de la division de la lemniscate ([/24 a], t. I, p. 413), et développé, dans des notes publiées seulement de nos jours, le cas particulier de la division par 5 ([124a], t. X, p. 161-162 et 517). Comme tant d’autres des brèves et énigmatiques indications dont Gauss se plaisait à parsemer ses écrits, la phrase des Disquisitiones frappa vivement l’esprit des contemporains ; et nous savons qu’elle ne contribua pas peu à inciter Abel et Jacobi à leurs recherches sur la question.

** La notion même de corps (comme, plus généralement, celle d’ensemble) est à peu près étrangère à la pensée mathématique avant Cantor et Dedekind. Abel et Galois définissent les éléments de leur « corps de base » comme étant tous ceux qui peuvent s’exprimer rationnellement en fonction des quantités données, sans songer à considérer explicitement l’ensemble que forment ces éléments.

Enfin, la mort le terrasse en 1829, alors qu’il s’attaque au problème général de la caractérisation de toutes les équations résolubles par radicaux, et vient de communiquer à Crelle et Legendre des résultats déjà tout proches de ceux de Galois ([I], t. II, p. 219-243, 269-270 et 279).

C’est à celui-ci qu’était réservé, trois ans plus tard, de couronner l’édifice [123]. Comme Abel, mais de façon encore plus nette, il commence par définir (à la terminologie près) l’appartenance d’une quantité à un corps engendré par des quantités données, la notion d’adjonction, et les polynômes irréductibles sur un corps donné. Étant donnée une équation $F(x) = 0$, sans racines multiples, à coefficients dans un corps donné $K$, il montre successivement qu’« on peut toujours former une fonction $V$ des racines, telle qu’aucune des valeurs que l’on obtient en permutant dans cette fonction les racines de toutes manières, ne soient égales », que cette fonction « jouira de la propriété que toutes les racines de l’équation proposée s’exprimeront rationnellement en fonction de $V$ », et que, $V, V', V'', ...$ étant les racines de l’équation irréductible à laquelle satisfait $V$, « si $a = f(V)$ est une racine de la proposée, $f(V')$ de même sera une racine de la proposée » ([123], p. 47-51); en langage moderne, il prouve donc que $V$, ainsi que l’un quelconque de ses conjugués sur $K$, engendre le corps $N$ des racines de $F$. Il définit alors le groupe $\Gamma$ de $F$ comme l’ensemble des permutations des racines $x_i$ que l’on obtient en substituant à $V$, dans l’expression rationnelle de chacune des $x_i$ en fonction de $V$, un quelconque des conjugués de $V$; et il obtient aussitôt la caractérisation fondamentale des éléments de $K$ par la propriété d’être invariants par toute permutation de $\Gamma$ ([123], p. 51). Il prouve ensuite que, si $N$ contient le corps des racines $L$ d’un autre polynôme, le groupe de $N$ sur $L$ est un sous-groupe distingué de $\Gamma$ (notion qu’il introduit à cette occasion) ([123], p. 175). De là il déduit enfin le critère de résolubilité d’une équation par radicaux, au moyen d’un raisonnement dont voici l’essentiel : le corps de base $K$ étant supposé contenir toutes les racines de l’unité, il doit exister par hypothèse une suite croissante $(K_i)_{0 \leq i \leq m}$ de corps intermédiaires entre $K$ et $N$, avec $K_0 = K, K_m = N$, le corps $K_{i+1}$ s’obtenant par adjonction à $K_i$ de toutes les racines d’une équation binôme $x^{n_i} - a_i = 0$ (avec $a_i \in K_i$). Il existe donc dans $\Gamma$ une suite décroissante $(\Gamma_i)$ de sous-groupes tels que $\Gamma_0 = \Gamma, \Gamma_m = \{ e \}$ (élément neutre), $\Gamma_{i+1}$ étant distingué dans $\Gamma_i$ et le groupe quotient $\Gamma_i / \Gamma_{i+1}$ étant cyclique (cas où on dit que le groupe $\Gamma$ est résoluble). Réciproquement, s’il en est ainsi, l’usage d’une résolvante de Lagrange montre que $K_{i+1}$ s’obtient par adjonction à $K_i$ de toutes les racines d’une équation binôme, et par suite l’équation $F(x) = 0$ est résoluble par radicaux *. L’impossibilité de la résolution par radicaux de l’équation « générale » de degré $n > 4$ est alors une conséquence de ce que le groupe $\Gamma$ de cette équation, isomorphe au groupe symétrique $S_n$, n’est pas résoluble.

A partir du milieu du XIXe siècle, les algébristes, comme nous l’avons déjà marqué (cf. p. 75), élargissent considérablement le champ de leurs investigations, jusque-là à peu près entièrement confinées à l’étude des équations. À la lumière des découvertes de Galois, on s’aperçoit que le problème de la résolution « par radicaux » n’est qu’un cas particulier, assez artificiel, du problème général de la classification des irrationnelles. C’est ce dernier qui, pendant toute la fin du XIXe siècle, va être attaqué de divers côtés, et de nombreux résultats disparates s’accumuleront peu à peu, préparant la voie à la synthèse de Steinitz.

En ce qui concerne tout d’abord les irrationnelles algébriques, un principe fondamental de classification était fourni par la théorie de Galois, ramenant l’étude d’une équation algébrique à celle de son groupe. De fait, c’est surtout la théorie des groupes de permutations, dont nous n’avons pas à parler ici (cf. p. 76), qui, en Algèbre pure, fait l’objet principal des recherches de cette période. Les autres progrès de la théorie des corps algébriques proviennent du développement, à la même époque, de la Théorie des nombres et de la Géométrie algébrique. Ces progrès concernent surtout d’ailleurs le mode d’exposition de la théorie, et sont pour la plupart dus à Dedekind [79], qui introduit les notions de corps et d’anneau **, et (en liaison avec ses recherches sur les systèmes hypercomplexes) développe

\* Si K ne contient pas toutes les racines de l’unité, et si E est le corps obtenu en adjoignant à K toutes ces racines, $E \cap N$ est une extension abélienne de K ; d’où on déduit aisément (en utilisant la structure des groupes abéliens finis) que, pour que le groupe de N sur K soit résoluble, il faut et il suffit que le groupe de $E(N)$ sur E le soit. Tenant compte du fait que les racines de l’unité sont exprimables « par radicaux », on voit que le critère de Galois est indépendant de toute hypothèse sur le corps de nombres K (et est valable plus généralement pour tout corps de caractéristique 0). En réalité, Galois ne fait aucune hypothèse simplificatrice sur K, et raisonne par récurrence sur l’ordre des radicaux successivement adjoints à K ([123], p. 60-61). ** Le mot de « corps » est de Dedekind lui-même; celui d’« anneau » fut introduit par Hilbert (Dedekind appelait les anneaux des « ordres »).

systématiquement l’aspect linéaire de la théorie des extensions ([79], t. III, p. 33 et suiv.). C’est lui aussi qui considère le groupe de Galois comme formé d’automorphismes de l’extension considérée, et non plus seulement comme groupe de permutations des racines d’une équation ; et il démontre (pour les corps de nombres) le théorème fondamental d’indépendance linéaire des automorphismes ([79], t. III, p. 29) ainsi que l’existence des bases normales d’une extension galoisienne ([79], t. II, p. 433). Enfin, il aborde le problème des extensions algébriques de degré infini, et constate que la théorie de Galois ne peut s’y appliquer telle quelle (un sous-groupe quelconque du groupe de Galois n’étant pas toujours identique au groupe de l’extension par rapport à une sous-extension) ; et, par une intuition hardie, il songe déjà à considérer le groupe de Galois comme groupe topologique \* — idée qui ne viendra à maturité qu’avec la théorie des extensions galoisiennes de degré infini, développée par Krull en 1928 [187 d].

Parallèlement à cette évolution se précise la notion d’élément transcendant sur un corps. L’existence des nombres transcendants est démontrée pour la première fois par Liouville en 1844, par un procédé de construction explicite, basé sur la théorie des approximations diophantiennes [204 c]; Cantor, en 1874, donne une autre démonstration « non constructive » utilisant de simples considérations sur la puissance des ensembles [47]; enfin, Hermite démontre en 1873 la transcendance de $e$, et Lindemann en 1882 celle de $\pi$ par une méthode analogue à celle d’Hermite, mettant ainsi un point final à l’antique problème de la quadrature du cercle **.

Quant au rôle des nombres transcendants dans les calculs algébriques, Kronecker observe en 1882 que, si $x$ est transcendant sur un corps $K$, le corps $K(x)$ est isomorphe au corps des fractions rationnelles $K(X)$ ([186 a], t. II, p. 253). Il fait d’ailleurs de l’adjonction d’indéterminées à un corps la pierre angulaire de son exposé de la théorie des nombres algébriques ([186 a], t. II, p. 245-387). D’autre part, Dedekind et Weber montrent la même année [80] comment les méthodes arithmétiques peuvent servir à fonder la théorie des courbes algébriques. On voit ainsi apparaître dans plusieurs directions des analogies entre l’Arithmétique et la Géométrie

\* « ...L’ensemble de ces permutations forme en un certain sens une multiplicité continue, question que nous n’approfondirons pas ici » ([79], t. II, p. 288). ** On trouvera des démonstrations simples de ces théorèmes par exemple dans [163 a], t. I, p. 1.

algébrique, qui se révéleront extrêmement fécondes pour l'une et l'autre.

Dans toutes ces recherches, les corps qui interviennent sont formés d’éléments «concrets» au sens des mathématiques classiques — nombres (complexes) ou fonctions de variables complexes *. Mais déjà Kronecker, en 1882, se rend bien compte du fait (obscurément pressenti par Gauss et Galois) que les «indéterminées» ne jouent dans sa théorie que le rôle d’éléments de base d’une algèbre, et non celui de variables au sens de l’Analyse ([/86’a], t. II, p. 339-340); et, en 1887, il développe cette idée, en liaison avec un vaste programme qui ne vise à rien moins qu’à refondre toutes les mathématiques en rejetant tout ce qui ne peut se ramener à des opérations algébriques sur les nombres entiers. C’est à cette occasion que, reprenant une idée de Cauchy ([56 a], (1), t. X, p. 312 et 351) qui avait défini le corps $\mathbf{C}$ des nombres complexes comme le corps des restes $\mathbf{R}[X]/(X^2 + 1)$, Kronecker montre comment la théorie des nombres algébriques est tout à fait indépendante du «théorème fondamental de l’algèbre» et même de la théorie des nombres réels, tout corps de nombres algébriques (de degré fini) étant isomorphe à un corps de restes $\mathbf{Q}[X]/(f)$ ($f$ polynôme irréductible sur $\mathbf{Q}$) ([/86 a], t. III₁, p. 211-240). Ainsi que le remarque quelques années plus tard H. Weber [327 a], développant une première esquisse de théorie axiomatique des corps, cette méthode de Kronecker s’applique en réalité à tout corps de base K. Weber indique en particulier qu’on peut prendre pour K un corps $\mathbf{Z}/(p)$ ($p$ nombre premier), faisant ainsi rentrer dans la théorie des corps le calcul des congruences «modulo $p$»; ce dernier avait pris naissance dans la seconde moitié du XVIIIe siècle, chez Euler, Lagrange, Legendre et Gauss, et on n’avait pas manqué d’observer l’analogie qu’il présentait avec la théorie des équations algébriques; développant cette analogie, Galois (en vue de recherches sur la théorie des groupes) n’avait pas hésité à introduire des «racines

• Pas plus que leurs prédécesseurs, Kronecker ni Dedekind et Weber ne définissent en réalité la notion de «fonction algébrique» d’une ou plusieurs variables complexes. On ne peut en effet définir correctement une «fonction algébrique» d’une variable complexe (au sens de l’Analyse) qu’une fois définie la surface de Riemann correspondante, et c’est précisément la définition de la surface de Riemann (par des moyens purement algébriques) qui est le but poursuivi par Dedekind et Weber. Ce cercle vicieux apparent disparaît bien entendu quand on définit un corps de «fonctions algébriques» comme une extension algébrique abstraite d’un corps de fractions rationnelles : en fait, c’est uniquement de cette définition que se servent Dedekind et Weber, ce qui légitime pleinement leurs résultats.

idéales » d'une congruence irréductible modulo $p^*$, et en avait indiqué les principales propriétés ([/23], p. 113-127) **. Lorsqu'on applique la méthode de Kronecker à $\mathbf{Z}/(p)$, on retrouve d'ailleurs (à la terminologie près) la présentation qu'avaient déjà donnée Serret et Dedekind ([79], t. I, p. 40) de la théorie de ces « imaginaires de Galois ».

A tous ces exemples de « corps abstraits » viennent encore s'ajouter, au tournant du siècle, des corps d'un type nouveau très différent, les corps de séries formelles introduits par Veronese [318], et surtout les corps $p$-adiques de Hensel [157 f]. C'est là découverte de ces derniers qui conduisit Steinitz (comme il le dit explicitement) à dégager les notions abstraites communes à toutes ces théories, dans un travail fondamental [294 a] qui peut être considéré comme ayant donné naissance à la conception actuelle de l'Algèbre. Développant systématiquement les conséquences des axiomes des corps commutatifs, il introduit ainsi les notions de corps premier, d'éléments (algébriques) séparables, de corps parfait, définit le degré de transcendance d'une extension, et démontre enfin l'existence des extensions algébriquement closes d'un corps quelconque.

A une époque récente, la théorie de Steinitz s'est complétée sur quelques points importants. D'une part, les travaux d'Artin ont mis en évidence le caractère linéaire de la théorie de Galois [7 a]. D'un autre côté, la notion générale de dérivation (caiquée sur les propriétés formelles du Calcul différentiel classique) pressentie par Dedekind ([79], t. II, p. 412), introduite par Steinitz dans le cas particulier d'un corps de fractions rationnelles ([294 a], p. 209-212), a été utilisée avec succès dans l'étude (essentielle pour la Géométrie algébrique moderne) des extensions transcendantes, et notamment dans la généralisation à ces dernières de la notion de séparabilité [330 d].

\* Dans un manuscrit datant vraisemblablement de 1799, mais publié seulement après sa mort, Gauss, sans encore introduire de « racines idéales », obtient, sous une forme équivalente, une bonne partie des résultats de Galois ([124 a], t. II, p. 212-240, en particulier p. 217).| ** Galois a pleinement conscience du caractère formel des calculs algébriques, n'hésitant pas, par exemple, à prendre la dérivée du premier membre d'une congruence pour montrer que cette dernière n'a pas de racines « imaginaires » multiples ([/23], p. 117). Il souligne en particulier que le théorème de l'élément primitif est valable aussi bien pour un corps fini que pour un corps de nombres ([/23], p. 117), sans en donner d'ailleurs de démonstration.