26. Các nhóm sinh bởi phép phản xạ; các hệ nghiệm.

Các nhóm được xét trong Chú ý này xuất hiện gắn với những bài toán khác nhau của Hình học, Giải tích và Lý thuyết các nhóm Lie, đôi khi dưới dạng các nhóm phép hoán vị, đôi khi dưới dạng các nhóm các phép dời trong hình học Euclid hoặc hyperbol, và những quan điểm khác nhau này chỉ mới được phối hợp với nhau trong thời gian gần đây.

Về mặt lịch sử, sự khởi đầu của lý thuyết này lâu đời hơn nhiều so với việc đưa vào khái niệm nhóm: thực vậy nó bắt nguồn từ các nghiên cứu về “tính chính quy” hay “các tính đối xứng” của các hình hình học, và đặc biệt trong việc xác định các đa giác đều và đa diện đều (chắc chắn có từ thời các nhà Pythagore), những thứ tạo thành đỉnh cao của Các nguyên tố của Euclid, và là một trong những sáng tạo đáng ngưỡng mộ nhất của thiên tài Hy Lạp. Về sau, đặc biệt với các tác giả Ả Rập thời Trung cổ cao, rồi với Kepler, những khởi đầu của một lý thuyết toán học về các “lát ghép” chính quy của mặt phẳng hoặc mặt cầu bởi các đa giác từng đôi một đồng dạng (nhưng không nhất thiết chính quy) xuất hiện, chắc hẳn gắn liền với nguồn gốc của các kiểu trang trí khác nhau do các nền văn minh cổ đại và Ả Rập nghĩ ra (có thể được xem một cách có cơ sở là một phần đích thực của toán học do các nền văn minh này phát triển [291]).

Vào khoảng 1830-1840, các nghiên cứu về tinh thể học (Hessel, Bravais, Möbius) dẫn đến việc xét một bài toán chính là bài toán xác định các nhóm hữu hạn các phép dời trong không gian Euclid 3 chiều, mặc dù các tác giả được trích dẫn ở trên vẫn chưa dùng ngôn ngữ của lý thuyết nhóm; ngôn ngữ này chỉ mới được sử dụng vào khoảng năm 1860, và chính trong bối cảnh phân loại các nhóm mà Jordan, vào năm 1869 [174 b], xác định các nhóm con rời rạc của các phép dời trong $\mathbf{R}^3$ bảo toàn định hướng (và nói chung, tất cả các nhóm con đóng của các nhóm các phép dời bảo toàn định hướng).

Cho đến những năm cuối của thế kỷ XIX, dòng tư tưởng này được phát triển theo nhiều hướng, trong đó nổi bật nhất là các hướng sau:

1. Phù hợp với một khuynh hướng xuất hiện rất sớm trong lý thuyết các nhóm hữu hạn, người ta tìm kiếm các “biểu diễn” của các nhóm hữu hạn các phép dời bằng các phần tử sinh và các quan hệ thuộc một kiểu đơn giản. Vì vậy Hamilton, ngay từ năm 1856 [145 b], đã chứng minh rằng các nhóm hữu hạn các phép quay trong không gian Euclid

R$^3$ được sinh bởi hai phần tử sinh $S, T$ liên kết bởi các quan hệ $S^p = T^q = (ST)^3 = 1$ với các giá trị thích hợp của $p$ và $q$.

2. Các nhóm rời rạc của các phép dời có thể chứa hoặc không chứa các phép phản xạ. Ngay từ năm 1852, Möbius đã xác định về cơ bản các nhóm hữu hạn của các phép dời trong hình học cầu sinh bởi các phép phản xạ (điều này tương đương với cùng bài toán đối với các nhóm hữu hạn các phép dời Euclid trong $\mathbf{R}^3$); ông nhận thấy rằng, ngoại trừ các nhóm cyclic, một nhóm như vậy có miền cơ bản là một tam giác cầu có các góc dạng $\pi/p, \pi/q, \pi/r$, trong đó $p, q, r$ là ba số nguyên > 1 sao cho $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ ([223], v. II, pp. 349-360 và pp. 561-708). Ông cũng nhận thấy rằng các nhóm này chứa tất cả các nhóm hữu hạn của các phép dời như các nhóm con.

3. Dòng tư tưởng cuối cùng này được mở rộng thêm khi, tiếp theo các công trình của Riemann và Schwarz về các hàm hypergeometric và các biểu diễn bảo giác, việc nghiên cứu các “lát ghép” của mặt phẳng phức hoặc của nửa mặt phẳng bằng các hình được giới hạn bởi các cung của một đường tròn được bắt đầu; Klein và Poincaré lấy nó làm nền tảng cho lý thuyết các “hàm tự đẳng cấu” và nhận ra trong đó (trong trường hợp các cung của một đường tròn vuông góc với một đường thẳng cố định) một bài toán tương đương với việc tìm kiếm các nhóm con rời rạc của nhóm các phép dời của mặt phẳng hyperbol không Euclid (đồng nhất với “nửa mặt phẳng Poincaré”) [118].

4. Các khái niệm về đa diện chính quy và về lát ghép của $\mathbf{R}^3$ bởi các đa diện như vậy được mở rộng tới tất cả các không gian Euclid $\mathbf{R}^n$ bởi Schlafli, trong các công trình bắt đầu từ khoảng năm 1850, nhưng chỉ được xuất bản rất lâu sau đó và bị bỏ qua trong một thời gian dài ([273], v. I, pp. 167-387); ông xác định hoàn toàn các “đa diện nhiều chiều” chính quy trong mỗi $\mathbf{R}^n$, nhóm các phép dời giữ bất biến một đa diện nhiều chiều như vậy, và một miền cơ bản của nhóm này, mà, cũng như trong trường hợp $n = 3$ được Möbius nghiên cứu, là một “phòng” mà vết của nó trên mặt cầu $S_{n-1}$ là một đơn hình cầu. Tuy nhiên, ông không xét bài toán ngược về việc tìm kiếm các nhóm hữu hạn của các phép dời sinh bởi các phép phản xạ trong $\mathbf{R}^n$; bài toán này chỉ được giải quyết rất lâu sau đó, bởi Goursat [132] đối với $n = 4$, và, đối với $n$ tùy ý, nghiệm của nó phải chờ đến các công trình của E. Cartan ([52 a], v. I_2, pp. 1003-1020) và của Coxeter [70 c], mà chúng ta sẽ trở lại sau.

Vào khoảng năm 1890, với các công trình đầu tiên của Killing và E. Cartan về các nhóm Lie, bắt đầu một dòng tư tưởng mới mà trong một thời gian dài sẽ phát triển không liên hệ với các công trình trước đó. Killing [180] và Cartan ([52 a], v. I_1, pp. 137-287), trong nghiên cứu của họ về cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn phức, ngay lập tức dành một vai trò cơ bản cho một số dạng tuyến tính $\omega_\alpha$ trên một “đại số con Cartan” $\mathfrak{h}$ của một đại số Lie $\mathfrak{g}$ như vậy; chúng là các “nghiệm” đối với $\mathfrak{h}$, được gọi như vậy bởi vì với Killing chúng xuất hiện như các nghiệm của phương trình đặc số $\det(\operatorname{ad}_\mathfrak{g}(x) - T) = 0$, được xem như các hàm của $x \in \mathfrak{h}$. Các tính chất của các “nghiệm” này được Killing và Cartan thiết lập quy về việc khẳng định rằng, trong ngôn ngữ hình học thực sự, chúng tạo thành một “hệ nghiệm rút gọn”;

họ chỉ ra rằng việc phân loại các đại số Lie nửa đơn phức quy về việc phân loại các “hệ nghiệm” liên kết, mà bản thân việc này lại quy về việc xác định một số ma trận nhất định với các hệ số nguyên (sau này được gọi là “ma trận Cartan”). Killing và Cartan cũng chỉ ra, với mỗi nghiệm $\omega_\alpha$, sự tồn tại của một phép hoán vị bất biến qua phép hợp thành $S_\alpha$ của tập hợp các nghiệm; họ sử dụng một cách cốt yếu phép biến đổi $C = S_{\alpha_1} S_{\alpha_2} \ldots S_{\alpha_l}$, là tích của các phép hoán vị liên kết với $l$ nghiệm tạo thành một hệ cơ bản (một phép biến đổi ngày nay được gọi là “phép biến đổi Coxeter”); thậm chí họ còn mở rộng phép hoán vị này thành một phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ sinh bởi các nghiệm cơ bản $\omega_{\alpha_i} (1 \leq i \leq l)$, và nghiên cứu các trị riêng của nó ([180], II, p. 20; [52 a], v. I_1, p. 58). Nhưng cả Killing lẫn, thoạt đầu, Cartan dường như đều không nghĩ đến việc xét nhóm $G'$ sinh bởi các $S_\alpha$; và khi Cartan, một thời gian sau đó ([52 a], v. I_1, pp. 293-353), xác định nhóm Galois $G$ của phương trình đặc số

của một “phần tử tổng quát” $x \in \mathfrak{h}$, thoạt đầu ông nghiên cứu nó mà không đưa các $S_\alpha$ vào; ba mươi năm sau, dưới ảnh hưởng của công trình của H. Weyl, ông chứng minh ([52 a], v. I_1, pp. 555-568) rằng $G$ có nhóm $G'$ làm nhóm con chuẩn tắc và xác định trong mọi trường hợp cấu trúc của nhóm thương $G/G'$ mà (đối với một đại số đơn $g$) có cấp 1 hoặc 2, ngoại trừ kiểu $D_4$ trong đó nó đẳng cấu với $S_3$; cũng chính nhân dịp này ông giải thích $G'$ là nhóm cảm sinh bởi các tự đẳng cấu nội của một đại số Lie nửa đơn phức, giữ cố định một đại số con Cartan.

Công trình của H. Weyl mà chúng tôi vừa đề cập là công trình mở đầu cho cách giải thích hình học của nhóm $G'$ (từ đó được gọi là “nhóm Weyl” của $g$); cũng như Killing và Cartan đã làm đối với phép biến đổi $C$, ông nảy ra ý tưởng xét các $S_\alpha$ như những phép phản xạ trong không gian vectơ của các dạng tuyến tính trên $\mathfrak{h}$. Chính trong hồi ký của H. Weyl [331 b], miền cơ bản của “nhóm Weyl affine” cũng xuất hiện (tuy mối liên hệ với “nhóm Weyl” $G'$ không được chỉ rõ); Weyl sử dụng nó để chứng minh rằng nhóm cơ bản của một nhóm nửa đơn compact là hữu hạn, một điểm then chốt trong chứng minh của ông về tính khả quy hoàn toàn của các biểu diễn tuyến tính của một đại số Lie nửa đơn phức. Không lâu sau đó, E. Cartan hoàn tất sự tổng hợp các quan điểm toàn cục của H. Weyl, lý thuyết của chính ông về các đại số Lie nửa đơn thực hoặc phức, và lý thuyết về các không gian Riemann đối xứng mà ông đang xây dựng vào thời gian này. Trong hồi ký ([52 a], v. I_2, pp. 793-840), ông hoàn tất việc xác định các đa diện cơ bản của nhóm Weyl và của nhóm Weyl affine, và đưa vào các hệ trọng số và các hệ trọng số căn; ông mở rộng thảo luận này sang các không gian đối xứng, và do đó gặp, đáng chú ý, những ví dụ đầu tiên về các hệ nghiệm không thu gọn ([52 a], v. I_2, pp. 1003-1010). Cuối cùng, bài báo ([52 a], v. I_2, pp. 867-989) đưa ra chứng minh đầu tiên về sự kiện rằng mọi nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ trong $\mathbf{R}^n$ và bất khả quy đều có một miền cơ bản mà vết của nó trên $S_{n-1}$ là một đơn hình cầu; cũng chính trong công trình này ông chứng minh tính duy nhất của nghiệm lớn nhất (đối với một thứ tự từ điển tùy ý trên hệ nghiệm) bằng những xét đoán hình học.

Một thời gian sau, van der Waerden [317 b], dựa vào hồi ký của H. Weyl, chỉ ra rằng việc phân loại các đại số Lie nửa đơn phức tương đương với việc phân loại các hệ nghiệm thu gọn, mà ông thực hiện bằng những xét đoán hình học sơ cấp (trong khi, với Killing và Cartan, việc phân loại này là kết quả của những tính toán phức tạp với các định thức). Gần như cùng thời gian đó, Coxeter xác định tường minh tất cả các nhóm hữu hạn bất khả quy của các phép dời hình Euclid được sinh bởi các phép phản xạ [70 c]; do đó ông hoàn tất các kết quả của hồi ký ([52 a], v. I_2, pp. 793-840) của E. Cartan, người chỉ xác định các nhóm “tinh thể học” (tức là các nhóm liên kết với một hệ nghiệm, hay cũng có thể nhúng vào một nhóm vô hạn rời rạc các phép dời hình). Năm sau [70 d], Coxeter chỉ ra rằng các nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ là những nhóm hữu hạn duy nhất (sai khác đẳng cấu) thừa nhận một trình bày bởi các phần tử sinh bất biến qua phép hợp thành $R_i$ thỏa mãn các quan hệ dạng $(R_i R_j)^{m_{ij}} = 1$ ($m_{ij}$ số nguyên), do đó có tên gọi “các nhóm Coxeter” từ đó được đặt cho các nhóm (hữu hạn hoặc không) thừa nhận một trình bày như vậy.

Mối liên hệ đầu tiên giữa hai dòng nghiên cứu mà chúng tôi đã mô tả ở trên dường như được thiết lập bởi Coxeter [70 e], sau đó bởi Witt [337 c]. Họ nhận thấy rằng các nhóm vô hạn bất khả quy của các phép dời hình Euclid được sinh bởi các phép phản xạ tương ứng song ánh (sai khác đẳng cấu) với các đại số Lie đơn phức. Witt đưa ra một cách xác định mới các nhóm rời rạc kiểu này, và cũng mở rộng định lý của Coxeter [70 d] được nhắc lại ở trên bằng cách đặc trưng cả các nhóm Coxeter đẳng cấu với các nhóm vô hạn rời rạc của các phép dời hình Euclid. Kết quả này, cùng với sự kiện là các nhóm tương tự trong hình học hyperbolic cũng là các nhóm Coxeter,$^1$ đã dẫn đến việc bắt đầu nghiên cứu các nhóm này, trước hết bằng cách nhấn mạnh vào một hiện thực hóa hình học ([71], [308 a]), rồi, theo J. Tits [308 b and c], trong một khuôn khổ thuần túy đại số.

Bắt đầu từ công trình của Witt, lý thuyết các nhóm Lie nửa đơn và lý thuyết các nhóm rời rạc sinh bởi các phép phản xạ sẽ không ngừng tác động qua lại với nhau một cách hết sức phong phú. Ngay từ năm 1941, Stiefel [296] nhận xét rằng các nhóm Weyl chính là các nhóm hữu hạn sinh bởi các phép phản xạ và để bất biến một mạng. Chevalley [62 e] và Harish-Chandra [149 a] vào năm 1948-51 đưa ra các chứng minh a priori về sự tương ứng song ánh giữa các nhóm "tinh thể học" và các đại số Lie nửa đơn phức; cho đến lúc đó, người ta chưa thể kiểm chứng riêng sự tương ứng này đối với từng kiểu của đại số Lie đơn.

Khoảng năm 1950, mặt khác, người ta nhận thấy rằng các đa thức bất biến dưới nhóm Weyl đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết các biểu diễn tuyến tính vô hạn chiều [149 a] và trong tôpô của các nhóm Lie.

$^1$ Các nhóm này, được nghiên cứu sâu trong trường hợp chiều 2, cho đến những năm gần đây vẫn chưa được xét đến trong chiều $\geq 3$ ngoài những trường hợp tình cờ.

Về phần mình, Coxeter [70 g], nghiên cứu lại phép biến đổi $C$, là tích của các phép phản xạ cơ bản của một nhóm hữu hạn $W$ sinh bởi các phép phản xạ, nhận thấy (bằng cách xét riêng từng kiểu) rằng đại số các đa thức bất biến dưới $W$ được sinh bởi các phần tử độc lập đại số, mà các bậc của chúng liên hệ với các giá trị riêng của $C$ theo một cách đơn giản. Sau đó, Chevalley [62 f] đã đưa ra các chứng minh a priori cho kết quả thứ nhất, còn Coleman [68] và Steinberg [292] cho kết quả thứ hai.

Cùng với các công trình của A. Borel về các nhóm đại số tuyến tính [30], những phát triển mới trong lý thuyết các nhóm Lie bắt đầu xuất hiện và dẫn tới một sự mở rộng đáng kể của lý thuyết này. A. Borel làm nổi bật tầm quan trọng của các nhóm con giải được liên thông cực đại (sau này được gọi là "các nhóm con Borel") trong một nhóm Lie, và biến chúng thành công cụ chính để chuyển một phần lớn lý thuyết cổ điển sang các nhóm đại số trên một trường đóng đại số (tuy nhiên vẫn chưa đạt được một phân loại các nhóm đại số đơn$^2$). Các nhóm con Borel (trong trường hợp các nhóm cổ điển thực hoặc phức) đã xuất hiện vài năm trước đó trong công trình của Gelfand và Neumark về các biểu diễn vô hạn chiều; và năm 1954, F. Bruhat đã phát hiện ra sự kiện đáng chú ý rằng, đối với các nhóm đơn cổ điển, sự phân tích nhóm thành các lớp ghép kép trên một nhóm Borel được đánh chỉ số một cách chính tắc bởi nhóm Weyl [40]. Kết quả này sau đó được Harish-Chandra [149 b] mở rộng cho tất cả các nhóm nửa đơn thực và phức. Mặt khác, năm 1955, Chevalley [62 g] đã thành công trong việc gắn với mọi đại số Lie nửa đơn phức $\mathfrak{g}$ và với mọi trường giao hoán $k$, một nhóm các ma trận có các hệ số trong $k$, có một phân tích Bruhat; và ông đã dùng sự kiện sau cùng này để chứng minh rằng, với một số ít ngoại lệ, nhóm được định nghĩa như vậy là đơn (theo nghĩa của lý thuyết các nhóm trừu tượng). Nhờ đó ông đã "giải thích" sự trùng hợp, vốn đã được nhận thấy từ thời Jordan và Lie, giữa các nhóm Lie đơn (theo nghĩa của lý thuyết nhóm Lie) thuộc các kiểu $A, B, C, D$ và các nhóm đơn cổ điển được định nghĩa thuần túy theo đại số trên một trường tùy ý (một sự trùng hợp mà cho đến lúc đó chỉ có thể mở rộng tới các kiểu ngoại lệ $G_2$ và $E_6$ nhờ Dickson [88 c và d]). Đặc biệt, bằng cách lấy một trường hữu hạn $k$, phép dựng của Chevalley cung cấp, đối với mỗi kiểu của đại số Lie đơn phức, một họ các nhóm đơn hữu hạn, chứa một phần lớn các nhóm đơn hữu hạn đã biết vào thời đó, cùng với ba chuỗi mới (tương ứng với các kiểu của các đại số Lie đơn $F_4, E_7$ và $E_8$). Ngay sau đó, bằng nhiều thủ tục khác nhau, sử dụng những sửa đổi của các phương pháp của Chevalley, một số tác giả (Hertzig, Suzuki, Ree, Steinberg và Tits), một mặt đã chỉ ra rằng có thể thu được theo cách tương tự các nhóm đơn hữu hạn khác đã biết vào thời đó, ngoại trừ các nhóm al-

$^2$ Một nhóm đại số có chiều $> 0$ được gọi là đơn (theo nghĩa của hình học đại số) nếu nó không chứa một nhóm con đại số chuẩn tắc nào có chiều $> 0$ ngoài chính nó. Nó được gọi là nửa đơn nếu nó đẳng phương với một tích của các nhóm đơn không giao hoán.

ternating và các nhóm Mathieu, và mặt khác đã dựng các chuỗi khác của các nhóm đơn hữu hạn mới (cf. [54]).

Gần như cùng thời gian đó, Chevalley [62 h], vẫn sử dụng kỹ thuật các phân tích Bruhat, kết hợp với một kết quả then chốt về chuẩn tắc hóa của một nhóm con Borel, đã nghiên cứu lại các nhóm đại số tuyến tính và đạt được kết quả rằng trên một trường đóng đại số $k$ có đặc số tùy ý, lý thuyết các nhóm đại số tuyến tính nửa đơn$^3$ về cơ bản dẫn tới cùng các kiểu như trong phân loại Killing-Cartan đối với $k = \mathbf{C}$. Tiếp đó, J. Tits [308 a và b], phân tích các phương pháp của Chevalley, đã đạt được một dạng tiên đề hóa (các “cặp BN”) của các phân tích Bruhat, dưới một dạng linh hoạt đáng kể, chỉ đưa cấu trúc của nhóm vào; chính khái niệm này hiện nay được biết dưới tên gọi “hệ Tits”. Tất cả các nhóm đơn (theo những nghĩa khác nhau của từ này) mà chúng ta đã nói đến ở trên đều được trang bị một cách chính tắc các hệ Tits, và chính Tits [308 c] đã chứng minh rằng sự tồn tại của một hệ như vậy trong một nhóm trừu tượng $G$, cùng với một vài tính chất bổ sung từ lý thuyết thuần túy về nhóm, cho phép chứng minh rằng $G$ là đơn, một định lý bao quát phần lớn các chứng minh tính đơn đã được đưa ra cho đến lúc đó đối với các nhóm này. Mặt khác, cùng với A. Borel, ông đã tổng quát hóa các kết quả của Chevalley trong [62 h], bằng cách chứng minh sự tồn tại của các hệ Tits trong nhóm các điểm hữu tỉ của một nhóm đại số tuyến tính nửa đơn trên một trường tùy ý [31].

Mọi hệ Tits xuất hiện trong các câu hỏi này đều có một nhóm Weyl hữu hạn. Một loại ví dụ khác đã được Iwahori và Matsumoto [170] phát hiện; họ đã chỉ ra rằng nếu, trong phép dựng của Chevalley ở [62 g], $k$ là một trường $p$-adic, thì nhóm thu được có một hệ Tits mà nhóm Weyl của nó là nhóm Weyl afin của đại số Lie phức nửa đơn mà ta đã khởi đầu. Kết quả này vừa được Bruhat và Tits [41] mở rộng cho mọi nhóm đại số nửa đơn trên một trường địa phương.

$^3$ Sự tồn tại của nhiều đại số Lie đơn “bệnh lý” trên một trường có đặc số $p > 0$ có thể đã khiến một số người nghi ngờ tính đặc trưng phổ quát của phép phân loại Killing-Cartan.