§ 25. 25. Các nhóm Lie và các đại số Lie. · Các yếu tố của lịch sử toán học

25. Các nhóm Lie và các đại số Lie.

I. NGUỒN GỐC.

Lý thuyết, trong gần một thế kỷ nay vẫn được gọi là “lý thuyết các nhóm Lie”, về cơ bản đã được xây dựng bởi một nhà toán học duy nhất: Sophus Lie. Trước khi bắt đầu lịch sử của nó, chúng tôi sẽ tóm tắt ngắn gọn vài công trình nghiên cứu trước đó đã chuẩn bị cho sự phát triển của nó.

a) Các phép biến đổi (Klein-Lie, 1869-1872).

Vào khoảng năm 1860, lý thuyết các nhóm hoán vị của một tập hợp hữu hạn đang phát triển và bắt đầu được sử dụng (Serret, Kronecker, Mathieu, Jordan). Mặt khác, lý thuyết bất biến, khi ấy đang ở thời kỳ hưng thịnh, làm cho các nhà toán học quen thuộc với một số tập hợp vô hạn các phép biến đổi hình học đóng đối với hợp thành (đặc biệt là các phép biến đổi tuyến tính hoặc xạ ảnh). Nhưng, trước công trình năm 1868 của Jordan [174 b] về các “nhóm chuyển động” (các nhóm con đóng của các nhóm dời hình trong không gian Euclid 3 chiều), dường như chưa có mối liên hệ có ý thức nào được thiết lập giữa hai dòng tư tưởng ấy.

Năm 1869, Felix Klein trẻ tuổi (1849-1925), học trò của Plücker, kết bạn tại Berlin với người Na Uy Sophus Lie (1842-1899), lớn hơn ông vài tuổi; họ được gắn bó với nhau bởi mối quan tâm chung đối với “hình học các đường thẳng” của Plücker và đặc biệt là lý thuyết các phức đường thẳng (p. 133). Chính vào khoảng thời kỳ này mà Lie hình thành một trong những ý tưởng độc đáo nhất của mình, việc đưa khái niệm bất biến vào Giải tích và vào hình học vi phân; một trong những nguồn gốc của ý tưởng đó là nhận xét của ông rằng các phương pháp cổ điển tích phân “bằng cầu phương” đối với các phương trình vi phân đều dựa trên sự kiện là phương trình bất biến đối với một họ “liên tục” các phép biến đổi. Từ năm 1869 có công trình đầu tiên (do Klein soạn) trong đó Lie sử dụng ý tưởng này; ở đó ông nghiên cứu “phức Reye” (một tập hợp các đường thẳng cắt các mặt của một tứ diện tại 4 điểm có tỷ số kép cho trước) và các đường cong và mặt có các tiếp tuyến là những đường thẳng của phức này ([202], vol. I, Abh. V, pp. 68-77): phương pháp của ông dựa trên tính bất biến của phức Reye đối với nhóm giao hoán 3 tham số (một xuyến cực đại của $\mathbf{PGL}(4, \mathbf{C})$ ) bảo toàn các đỉnh của tứ diện. Cùng ý tưởng ấy chi phối công trình do Klein và Lie cùng viết khi họ gặp nhau ở Paris vào mùa xuân năm 1870 ([182], v. I, pp. 416-420); về cơ bản, ở đó họ xác định các nhóm con liên thông giao hoán của nhóm xạ ảnh của mặt phẳng $\mathbf{PGL}(3, \mathbf{C})$ , và nghiên cứu các tính chất hình học của các quỹ đạo của chúng (dưới tên gọi các đường cong hoặc mặt V); điều đó cho họ, bằng một thủ tục thống nhất, các tính chất của những đường cong đa dạng, đại số hoặc siêu việt, như $y = cx^m$ hoặc các đường xoắn ốc lôgarit. Lời chứng của họ phù hợp với nhau khi nhấn mạnh ấn tượng sâu sắc mà các lý thuyết của Galois và của Jordan đã gây ra cho họ (bài chú giải của Jordan về Galois đã xuất hiện trong Math. Annalen năm 1869; dù sao đi nữa, Lie đã nghe nói đến lý thuyết của Galois ngay từ năm 1863). Klein, người vào năm 1871 bắt đầu quan tâm đến các hình học phi Euclid, nhìn thấy ở đó khởi đầu cho việc tìm kiếm một nguyên lý phân loại đối với mọi hình học đã biết, công việc nghiên cứu dẫn ông năm 1872 đến "chương trình Erlangen". Về phần mình, Lie trong một bức thư năm 1873 gửi A. Mayer ([202], vol. 5, p. 584), cho rằng chính thời gian ở Paris là nguồn gốc các ý tưởng của ông về các nhóm phép biến đổi, và trong một công trình năm 1871 ([202], vol. I, Abh. XII, pp. 153-214), ông đã dùng thuật ngữ "nhóm phép biến đổi" và phát biểu tường minh bài toán xác định mọi nhóm con ("liên tục hoặc gián đoạn") của $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ . Nói đúng ra, Klein và Lie hẳn đều đã gặp khó khăn khi thâm nhập vào vũ trụ toán học mới này, và Klein nói về "Khảo luận" của Jordan vừa mới xuất bản như một "cuốn sách bị niêm phong bằng bảy con dấu" ([182], v. I, p. 51); ở nơi khác ông viết liên quan đến ([182], v. I, pp. 424-459): "Mọi điều liên quan đến ý tưởng kinh nghiệm về một nhóm liên tục các toán tử đều thuộc về Lie, đặc biệt là mọi điều đụng chạm đến việc tích phân các phương trình vi phân thường hoặc các phương trình đạo hàm riêng. Mọi khái niệm mà về sau ông phát triển trong lý thuyết các nhóm liên tục của mình đều đã có thể thấy ở ông dưới dạng phôi thai, nhưng tuy vậy còn ít được trau chuốt đến mức tôi đã phải thuyết phục ông về nhiều chi tiết, chẳng hạn lúc đầu ngay cả sự tồn tại của các đường cong $V$ , trong những cuộc trò chuyện dài" ([182], v. I, p. 415).

b) Các phép biến đổi vô cùng bé.

Quan niệm về một phép biến đổi "vô cùng bé" bắt nguồn từ thuở đầu của phép tính vô cùng bé; ta đã biết? Need translate all French? Actually English. Continue properly. Người ta biết rằng Descartes phát hiện tâm quay tức thời bằng cách giả thiết rằng "trong vô cùng bé" mọi chuyển động phẳng đều có thể được đồng nhất với một phép quay; sự xây dựng Cơ học giải tích, vào thế kỷ XVIII, hoàn toàn dựa trên các ý tưởng tương tự. Năm 1851, Sylvester, khi tìm cách tạo ra các bất biến của nhóm tuyến tính

$GL(3, \mathbf{C})$ hoặc của một số nhóm con của nó, cho các tham số $z_j$ xuất hiện trong các ma trận ấy những gia số "vô cùng bé" dạng $\alpha_j dt$ , và biểu thị rằng một hàm $f((z_j))$ là bất biến bằng cách viết phương trình $f((z_j + \alpha_j dt)) = f((z_j))$ ; điều này dẫn ông đến một phương trình tuyến tính đối với $f$ có đạo hàm riêng $Xf = 0$ , trong đó

Xf = \sum_j \alpha_j \frac{\partial f}{\partial z_j},

$X$ do đó là một toán tử vi phân, "một đạo hàm theo hướng của các tham số có hướng $\alpha_j$ " ([304], vol. 3, pp. 326 and 327); Sylvester dường như cảm thấy ở đây có một nguyên lý tổng quát có phạm vi khá rộng, nhưng dường như đã không quay lại vấn đề ấy. Ít lâu sau, Cayley ([58], v. II, pp. 164-178) tiến hành theo cùng cách đối với các bất biến của $SL(2, \mathbf{C})$ trong một số biểu diễn của nhóm này và chỉ ra rằng đó là nghiệm của hai phương trình vi phân riêng phần cấp một $Xf = 0, Yf = 0$ , trong đó $X$ và $Y$ được thu được như trên xuất phát từ các phép biến đổi "vô cùng bé"

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ dt & 0 \end{pmatrix} \text{ và } \begin{pmatrix} 0 & dt \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Theo cách nói hiện đại, điều này được giải thích bởi việc $X$ và $Y$ sinh đại số Lie $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$ ; ngoài ra Cayley còn tính tường minh ngoặc $XY - YX$ và chỉ ra rằng nó cũng xuất phát từ một phép biến đổi "vô cùng bé".

Trong hồi ký năm 1868 của ông về các nhóm chuyển động [174 b], Jordan dùng từ đầu đến cuối khái niệm "phép biến đổi vô cùng bé", nhưng chỉ riêng từ quan điểm hình học. Không còn nghi ngờ gì rằng chính ở ông xuất hiện ý tưởng về một nhóm một tham số được "sinh" bởi một phép biến đổi vô cùng bé: đối với Jordan, đó là tập hợp các phép biến đổi thu được bằng cách "lặp lại một cách thích hợp" phép biến đổi vô cùng bé (loc. cit. p. 243). Klein và Lie, trong hồi ký năm 1871 của họ, dùng cùng cách nói "phép biến đổi vô cùng bé lặp lại" ([182], v. I, pp. 424-459), nhưng ngữ cảnh cho thấy họ muốn nói bởi đó một tích phân của một hệ vi phân. Nếu nhóm một tham số mà họ xét được tạo thành từ các phép biến đổi $x' = f(x, y, t), y' = g(x, y, t)$ , thì "phép biến đổi vô cùng bé" tương ứng được cho bởi

dx = p(x, y) dt, \quad dy = q(x, y) dt

trong đó $p(x, y) = \frac{\partial f}{\partial t}(x, y, t_0), q(x, y) = \frac{\partial g}{\partial t}(x, y, t_0)$ , trong đó $t_0$ tương ứng với phép biến đổi đồng nhất của nhóm. Vì Klein và Lie biết các hàm $f$ và $g$ một cách tường minh, họ không gặp khó khăn nào khi kiểm tra rằng các hàm

t \mapsto f(x, y, t) \text{ và } t \mapsto g(x, y, t)

cho dưới dạng tham số đường cong tích phân của phương trình vi phân

q(\xi, \eta) d\xi = p(\xi, \eta) d\eta

đi qua điểm $(x, y)$ , nhưng không đưa ra lý do tổng quát nào cho điều đó; ngoài ra họ cũng không dùng lại sự kiện này trong phần còn lại của hồi ký của mình.

c) Các phép biến đổi tiếp xúc.

Trong hai năm tiếp theo, Lie dường như từ bỏ lý thuyết các nhóm biến đổi (mặc dù ông vẫn giữ liên hệ rất chặt chẽ với Klein, người xuất bản năm 1872 "Chương trình" của mình) để nghiên cứu các phép biến đổi tiếp xúc, việc tích phân các phương trình vi phân riêng phần cấp một và các quan hệ giữa hai lý thuyết này. Ở đây chúng ta không cần trình bày chi tiết lịch sử của các vấn đề ấy, và sẽ chỉ giới hạn ở việc nhắc đến vài điểm dường như đã giữ một vai trò quan trọng trong sự hình thành của lý thuyết các nhóm biến đổi.

Khái niệm phép biến đổi tiếp xúc đồng thời khái quát hóa các phép biến đổi điểm và các phép biến đổi bởi các cực đối ngẫu. Nói đại thể, một phép biến đổi tiếp xúc $^1$ trong $C^n$ là một đẳng cấu từ một tập mở $\Omega$ của đa tạp $T'(C^n)$ các vectơ đối tiếp xúc với $C^n$ lên một tập mở khác $\Omega'$ của $T'(C^n)$ , biến 1-dạng chính tắc của $\Omega$ thành 1-dạng chính tắc của $\Omega'$ . Nói cách khác, nếu $(x_i, \ldots, x_n, p_1, \ldots, p_n)$ mô tả các tọa độ chính tắc của $T'(C^n)$ , thì một phép biến đổi tiếp xúc là một đẳng cấu $(x_i, p_i) \mapsto (X_i, P_i)$ thỏa mãn quan hệ $\sum_{i=1}^n P_i dX_i = \sum_{i=1}^n p_i dx_i$ . Các phép biến đổi như vậy xuất hiện trong nghiên cứu các phương trình vi phân riêng phần có dạng

F \left( x_1, x_2, \ldots, x_n, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_n} \right) = 0

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề ấy, Lie trở nên quen thuộc với việc thao tác các ngoặc Poisson

(f, g) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial p_i} \right)

và các ngoặc $^2$ $[X, Y] = XY - YX$ của các toán tử vi phân kiểu (25.1); ông diễn giải ngoặc Poisson (25.3) như tác dụng lên $f$ của một phép biến đổi

$^1$ Ở đây là trường hợp các phép biến đổi tiếp xúc "thuần nhất". Trước đó, việc xét các phương trình kiểu (25.2), nhưng trong đó $z$ xuất hiện trong $F$ , đã dẫn Lie đến việc xét các phép biến đổi tiếp xúc với $2n + 1$ biến $z, x_1, \ldots, x_n, p_1, \ldots, p_n$ , trong đó vấn đề là tìm $2n + 2$ hàm $Z, P_i, X_i (1 \leq i \leq n)$ và $\rho$ (hàm sau cùng này $\neq 0$ tại mọi điểm) sao cho $dZ - \sum_i P_i dX_i = \rho(dz - \sum_i p_i dx_i)$ . Trường hợp này thoạt nhìn có vẻ tổng quát hơn nhưng thực ra dễ dàng quy về trường hợp "thuần nhất" ([203], v. 2, pp. 135-146).

$^2$ Các ngoặc này đã xuất hiện trong lý thuyết Jacobi-Clebsch về các "hệ đầy đủ" các phương trình vi phân riêng phần cấp một $X_j f = 0 (1 \leq j \leq r)$ , một khái niệm tương đương với khái niệm "hệ hoàn toàn khả tích" của Frobenius: định lý cơ bản (tương đương với "định lý Frobenius") dùng để đặc trưng các hệ này là các ngoặc $[X_i, X_j]$ phải là các tổ hợp tuyến tính (với các hệ số biến) của các $X_k$ .

phép biến đổi kiểu (25.1) liên kết với $g$ , và nhân dịp này nhận thấy rằng đồng nhất thức Jacobi đối với các dấu ngoặc Poisson có nghĩa là ngoặc của các toán tử vi phân tương ứng với $g$ và $h$ được liên kết với dấu ngoặc $(g, h)$ . Việc tìm các hàm $g$ sao cho $(F, g) = 0$ , xuất hiện trong phương pháp của Jacobi để tích phân phương trình đạo hàm riêng (25.2), đối với Lie trở thành việc tìm một phép biến đổi tiếp xúc vô cùng bé bảo toàn phương trình đã cho. Cuối cùng, Lie được dẫn tới việc nghiên cứu tập hợp các hàm $(u_j)_{1 \leq j \leq m}$ theo các $x_i$ và các $p_i$ sao cho các dấu ngoặc $(u_j, u_k)$ là những hàm của các $u_h$ , và ông gọi các tập hợp ấy là "nhóm" (về thực chất đã được Jacobi xét tới).

II. CÁC NHÓM LIÊN TỤC VÀ CÁC BIẾN ĐỔI VÔ CÙNG BÉ.

Đột nhiên, vào mùa thu năm 1873, Lie lại bắt đầu nghiên cứu các nhóm biến đổi và thu được những kết quả quyết định. Theo chừng mực có thể lần theo sự tháo gỡ các ý nghĩ của ông trong vài bức thư gửi A. Mayer trong các năm 1873-1874 ([202], vol. 5, pp. 585-608), ông xuất phát từ một "nhóm liên tục" các phép biến đổi trên $n$ biến

x'_i = f_i(x_1, \ldots, x_n, a_1 \ldots, a_r) \quad (1 \leq i \leq n)

phụ thuộc một cách thực sự $^3$ vào $r$ tham số $a_1, \ldots, a_r$ ; ông nhận thấy rằng nếu phép biến đổi (25.4) là đồng nhất đối với các giá trị $a_1^0, \ldots, a_r^0$ của các tham số, $^4$ thì các khai triển Taylor của các $x_i$ , giới hạn ở cấp một:

f_i(x_1, \ldots, x_n, a_1^0 + z_1, \ldots, a_r^0 + z_r) = x_i + \sum_{k=1}^r z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n) + \ldots (1 \leq i \leq n)

cho một phép biến đổi vô cùng bé "tổng quát" phụ thuộc tuyến tính vào $r$ tham số $z_j$

dx_i = \left( \sum_{k=1}^r z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n) \right) dt \quad (1 \leq i \leq n).

Tiến hành như trong hồi ký viết chung với Klein, Lie tích phân hệ vi phân

$^3$ Lie muốn nói bởi điều đó rằng các $f_i$ không thể được biểu diễn bằng ít hơn $r$ hàm của các $a_j$ , hoặc tương đương là ma trận Jacobi $(\partial f_i / \partial a_j)$ có hạng $r$ "nói chung".

$^4$ Trong những ghi chú đầu tiên của mình, Lie tin rằng có thể chứng minh a priori sự tồn tại của đồng nhất và của nghịch đảo trong mọi tập hợp các phép biến đổi (4) đóng đối với hợp thành; về sau ông nhận ra rằng chứng minh của mình là không đúng, và Engel đã cung cấp cho ông một phản ví dụ được chép lại trong ([203], v. I, §44). Tuy nhiên Lie chỉ ra cách rút gọn các hệ "liên tục" (4) đóng đối với hợp thành về các groupuscule của các phép biến đổi: một hệ như thế có dạng $G \circ h$ , trong đó $G$ là một groupuscule các phép biến đổi và $h$ là một phép biến đổi của hệ ấy ([203], v. I, th. 26, p. 163, and v. 3, th. 46, p. 572).

\frac{d\xi_1}{\sum_k z_k X_{k1}(\xi_1, \ldots, \xi_n)} = \cdots = \frac{d\xi_n}{\sum_k z_k X_{kn}(\xi_1, \ldots, \xi_n)} = dt,

điều này cho ông, với mỗi điểm

(z_1, \ldots, z_r)

, một nhóm một tham số

t \mapsto x_i' = g_i(x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_r, t) \quad (1 \leq i \leq n)

sao cho

g_i(x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_r, 0) = x_i

với mọi

i

. Ông chỉ ra một cách khéo léo, bằng cách dùng sự kiện rằng các phép biến đổi (25.4) tạo thành một tập hợp đóng đối với hợp thành, rằng nhóm một tham số (25.8) là một nhóm con của nhóm đã cho ([202], vol. 5, Abh. VII, pp. 32-63). Ý tưởng mới, chìa khóa của toàn bộ lý thuyết, là đi tiếp đến cấp hai trong các khai triển Taylor của các hàm (25.4). Mạch lập luận của ông khá rối rắm và có tính trực giác ([202], vol. 5, Abh. VII, pp. 32-63 and [202], vol. 5, pp. 600-601); có thể trình bày nó như sau. Với các

z_j

đủ nhỏ, có thể đặt

t = 1

trong (25.8), và như vậy thu được những tham số mới

z_1, \ldots, z_r

cho các phép biến đổi của nhóm (thật vậy đây là lần xuất hiện đầu tiên của các "tham số chính tắc"). Theo định nghĩa, đối với (25.7), ta có

\frac{\partial g_i}{\partial t} = \sum_k z_k X_{ki}(x_1', \ldots, x_n'),

từ đó

\frac{\partial^2 g_i}{\partial t^2} = \sum_{k,j} z_k \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1', \ldots, x_n') \frac{\partial x_j'}{\partial t} = \sum_{k,j} z_k \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1', \ldots, x_n') \left( \sum_h z_h X_{hj}(x_1', \ldots, x_n') \right)

điều này cho

x_i' = x_i + (\sum_k z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n)) t

+ \frac{1}{2} \left( \sum_{k,h,j} z_k z_h \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_n) X_{hj}(x_1, \ldots, x_n) \right) t^2 + \ldots,

từ đó, với

t = 1

, các khai triển Taylor theo các tham số

z_j

x_i' = x_i + \left( \sum_k z_k X_{ki} \right) + \frac{1}{2} \left( \sum_{k,h,j} z_k z_h X_{hj} \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j} \right) + \ldots (1 \leq i \leq n).

Hãy viết vắn tắt các hệ thức này dưới dạng

x' = G(x, z)

giữa các vectơ

x = (x_1, \ldots, x_n), \; x' = (x_1', \ldots, x_n'), \; z = (z_1, \ldots, z_r);

tính chất cơ bản về sự đóng của các tập hợp những phép biến đổi này đối với hợp thành được viết thành

G(G(x, u), v) = G(x, H(u, v))

trong đó $H = (H_1, \ldots, H_r)$ độc lập với $x$ ; ngay lập tức có $H(u, 0) = u, H(0, v) = v$ , do đó có các khai triển

H_i(u, v) = u_i + v_i + \frac{1}{2} \sum_{h,k} c_{ikh} u_h v_k + \ldots,

các hạng không được viết ra là không tuyến tính hoặc theo $u$ hoặc theo $v$ . Biến đổi (25.10) với sự trợ giúp của (25.9) và (25.11), rồi so sánh các hạng theo $u_h v_k$ của hai vế, Lie thu được các hệ thức

\sum_{j=1}^n \left( X_{hj} \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j} - X_{kj} \frac{\partial X_{hi}}{\partial x_j} \right) = \sum_{l=1}^r c_{lhk} X_{li} \quad (1 \leq h, k \leq r, 1 \leq i \leq n).

Sự thành thạo của ông về lý thuyết các phương trình đạo hàm riêng đưa ông đến chỗ viết các điều kiện này dưới một dạng đơn giản hơn: theo mô hình của (25.1), với mỗi một trong $r$ phép biến đổi vô cùng nhỏ thu được bằng cách đặt $z_k = 1, z_h = 0$ với $h \neq k$ trong (25.6), ông gắn toán tử vi phân

A_k(f) = \sum_{i=1}^n X_{ki} \frac{\partial f}{\partial x_i},

và viết lại các điều kiện (25.12) dưới dạng

[A_h, A_k] = \sum_l c_{lhk} A_l,

một viên đá tảng của lý thuyết của ông. Cho đến khi ấy, ông đã dùng không phân biệt các thuật ngữ "phép biến đổi vô cùng nhỏ" và "phép biến đổi vô cùng bé" (e.g. [202], vol. 5, Abh. I, pp. 1-4); tính đơn giản của các hệ thức (25.14) khiến ông gọi toán tử (25.13) là "ký hiệu" của phép biến đổi vô cùng bé $dx_i = X_{ki} dt$ ( $1 \leq i \leq n$ ) ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75) và rất nhanh chóng, chính bản thân toán tử (25.13) là cái mà ông sẽ gọi là phép biến đổi vô cùng bé ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75 and [202], vol. 5, p. 589).

Khi đó ông nhận ra các liên hệ chặt chẽ gắn kết lý thuyết các "nhóm liên tục" với các nghiên cứu trước đây của ông về các phép biến đổi tiếp xúc và các phương trình đạo hàm riêng. Mối liên hệ này làm ông đầy nhiệt huyết: "Các công trình cũ của tôi, có thể nói, đều đã sẵn sàng từ trước để đặt nền móng cho lý thuyết mới về các nhóm biến đổi" ông viết cho Mayer năm 1874 ([202], vol. 5, p. 586).

Trong những năm tiếp theo, Lie tiếp tục nghiên cứu các nhóm biến đổi. Ngoài các định lý tổng quát được tóm lược ở đây (§ III), ông thu được một số kết quả riêng hơn: việc xác định các nhóm biến đổi của đường thẳng và của mặt phẳng, các nhóm con có đối chiều nhỏ trong các nhóm xạ ảnh, các nhóm có nhiều nhất 6 tham số, v.v.. Tuy nhiên, ông không từ bỏ các phương trình vi phân. Thật ra, thậm chí dường như đối với ông, lý thuyết các nhóm biến đổi phải là một công cụ để tích phân các phương trình vi phân, trong đó nhóm biến đổi sẽ đóng một vai trò tương tự như vai trò của nhóm Galois của một phương trình đại số. $^5$ Chú ý rằng nghiên cứu này cũng đưa ông đến chỗ đưa vào một số tập hợp các phép biến đổi với một vô hạn tham số, mà ông gọi là “nhóm vô hạn và liên tục”; $^6$ ông giữ tên gọi “nhóm hữu hạn và liên tục” cho các nhóm biến đổi với một số hữu hạn tham số thuộc kiểu (25.4) ở trên.

III. “TỪ ĐIỂN” NHÓM LIE — ĐẠI SỐ LIE.

Lý thuyết các nhóm “hữu hạn và liên tục”, do Lie phát triển trong nhiều khảo cứu từ năm 1874 trở đi, được trình bày có hệ thống trong bộ chuyên luận đồ sộ “Theorie der Transformationsgruppen” ([203], 1888-1893), viết với sự cộng tác của F. Engel; $^7$ đó là đối tượng của tập thứ nhất và của năm chương cuối của tập thứ ba, còn tập thứ hai được dành cho các phép biến đổi tiếp xúc.

Như nhan đề cho thấy, trong công trình này chưa bao giờ có vấn đề gì khác ngoài các nhóm biến đổi, theo nghĩa của các phương trình (25.4), trong đó không gian các “biến” $x_i$ và không gian các “tham số” $a_j$ lúc ban đầu đều giữ những vai trò quan trọng như nhau. Vả lại, khái niệm nhóm “trừu tượng” vào thời kỳ đó chưa được phát biểu rõ ràng; khi vào năm 1883 ([202], vol. 5, Abh. XII, pp. 311-313) Lie nhận xét rằng, với ký hiệu của (25.10), phương trình $w = H(u, v)$ , cho các tham số của tích của hai phép biến đổi của nhóm, xác định một nhóm mới, thì ông xem nó như một nhóm biến đổi trên không gian các tham số, do đó thu được cái mà ông gọi là

$^5$ Nghiên cứu này chỉ có một ảnh hưởng nhỏ lên lý thuyết tổng quát của các phương trình vi phân, vì nhóm tự đẳng cấu của một phương trình như vậy thường là tầm thường. Trái lại, đối với một số kiểu phương trình nào đó (chẳng hạn các phương trình tuyến tính), các kết quả đáng chú ý đã được Picard, Vessiot, rồi gần đây hơn, Ritt và Kolchin thu được.

$^6$ Ngày nay chúng được gọi là các “giả nhóm Lie”; cần cẩn thận đừng lẫn chúng với các nhóm Lie “Banach”.

$^7$ Từ năm 1886 đến năm 1898, Lie giữ tại Leipzig ghế giáo sư mà Klein để lại trống và có Engel làm trợ lý; hoàn cảnh này đã tạo thuận lợi cho sự nở rộ của một trường phái toán học năng động cũng như cho sự phổ biến các tư tưởng của Lie, cho đến khi đó còn khá ít được biết đến (đặc biệt vì các khảo cứu đầu tiên của ông phần lớn được viết bằng tiếng Na Uy, và được công bố trong Comptes Rendus của Viện hàn lâm Christiania, ít được phổ biến ở nơi khác). Chính vì thế mà vào một thời kỳ khi việc các nhà toán học trẻ người Pháp sang Đức học hầu như chưa phải là chuyện thường, E. Vessiot và A. Tresse đã trải qua một năm học tại Leipzig, với Sophus Lie.

"nhóm các tham số" (ông thậm chí còn thu được hai nhóm như thế, mà thực ra không gì khác hơn là nhóm các phép tịnh tiến trái và nhóm các phép tịnh tiến phải).8

Các biến $x_i$ và các tham số $a_j$ trong các phương trình (25.4) về nguyên lý được giả thiết là phức (trừ trong các ch. XIX-XXIV của v. 3), và các hàm $f_i$ là giải tích; dĩ nhiên Lie và Engel ý thức được rằng nói chung các hàm này không được xác định với mọi giá trị phức của các $x_i$ và các $a_j$ và rằng, do hệ quả đó, hợp thành của các phép biến đổi như thế làm nảy sinh những khó khăn nghiêm trọng ([203], v. I, pp. 15-17, pp. 33-40 và passim); và tuy rằng, về sau, hầu như họ luôn luôn phát biểu như thể việc hợp thành các phép biến đổi mà họ nghiên cứu luôn luôn có thể thực hiện được không có hạn chế, điều đó hẳn chỉ là vì sự tiện lợi của các mệnh đề, và họ phục hồi một cách tường minh quan điểm "địa phương" mỗi khi cần thiết (xem chẳng hạn loc. cit., pp. 168 hoặc 189 hoặc ibid., v. 3, p. 2, chú ý ở cuối trang); nói cách khác, đối tượng toán học mà họ nghiên cứu gần với cái mà ngày nay ta sẽ gọi là một luật phép toán bộ phận. Tuy vậy, đôi khi họ cũng xét các nhóm toàn cục, chẳng hạn 4 chuỗi nhóm cổ điển ([203], v. 3, p. 682), nhưng dường như họ đã không tự đặt cho mình câu hỏi nói chung một "nhóm toàn cục" có thể là gì; với họ, chỉ cần có thể thu được, đối với các "tham số" của các nhóm cổ điển (các "biến" của các nhóm này không gây ra khó khăn nào, vì đây là trường hợp các phép biến đổi tuyến tính của $\mathbf{C}^n$ ), những hệ tham số "địa phương" trong lân cận của phép biến đổi đồng nhất, mà không bận tâm đến miền hiệu lực của các công thức mà họ viết ra. Tuy nhiên, họ có đặt ra một bài toán nổi bật rõ ràng ra khỏi lý thuyết địa phương:9 việc nghiên cứu các nhóm "hỗn hợp", nghĩa là các nhóm có một số hữu hạn thành phần liên thông, như nhóm trực giao ([203], v. I, p. 7). Họ trình bày việc nghiên cứu này như việc nghiên cứu một tập hợp các phép biến đổi đóng đối với hợp thành và lấy nghịch đảo, là hợp của các tập hợp $H_j$ sao cho mỗi tập được mô tả bởi các hệ hàm $f_i^{(j)}$ như trong (25.4); số các tham số (cốt yếu) của mỗi $H_j$ thậm chí còn được giả thiết $a$ priori là phụ thuộc vào $j$ , nhưng thực ra họ chỉ ra rằng số này là như nhau đối với mọi $H_j$ . Kết quả chính của họ khi đó là sự tồn tại của một nhóm liên tục hữu hạn $G$ sao cho $H_j = G \circ h_j$ với một $h_j \in H_j$ và với mọi $j$ ; họ cũng thiết lập rằng $G$ là chuẩn tắc trong nhóm hỗn hợp và nhận xét rằng việc xác định các bất biến của nhóm sau này quy về việc xác định các bất biến của $G$ và của một nhóm gián đoạn ([203], v. I, chap. 18).

Lý thuyết tổng quát được phát triển trong [203] kết thúc (mà điều đó không được các tác giả phát biểu theo một cách thật hệ thống) bằng việc rèn nên một "từ điển" cho phép dịch từ các tính chất của các nhóm "liên tục hữu hạn" sang những

8 Khái niệm tương tự đối với các nhóm hoán vị đã được Jordan đưa vào và nghiên cứu trong "Traité" của ông. 9 Hãy nhớ lại rằng (p. 119), theo sau một chú ý của H. Poincaré ([251], v. V, pp. 77-79), nhiều tác giả đã nghiên cứu nhóm các phần tử khả nghịch của một đại số kết hợp số chiều hữu hạn. Điều đáng chú ý trong mối liên hệ này là E. Study, trong công trình của ông về chủ đề này, đã đưa vào một ký hiệu mà về thực chất quy về việc xét nhóm trừu tượng được xác định bởi nhóm các tham số.

của tập hợp các phép biến đổi vô cùng bé của chúng. Nó dựa trên "ba định lý của Lie", mỗi định lý trong đó gồm một mệnh đề và mệnh đề đảo lại của nó.

Định lý thứ nhất ([203], v. I, pp. 33 và 72 và v. 3, p. 563) trước hết khẳng định rằng nếu trong (25.4) các tham số là hiệu dụng, thì các hàm $f_i$ thỏa mãn một hệ phương trình vi phân riêng phần có dạng

\frac{\partial f_i}{\partial a_j} = \sum_{k=1}^r \xi_{ki}(f(x, a)) \psi_{kj}(a) \quad (1 \leq i \leq n)

trong đó ma trận $(\xi_{kl})$ có hạng tối đa và $\det(\psi_{kj}) \neq 0$ ; đảo lại, nếu các hàm $f_i$ có tính chất này, thì các công thức (25.4) định nghĩa một groupuscule các phép biến đổi.

Định lý thứ hai ([203], v. I, pp. 149 và 158, và v. 3, p. 590) cho các quan hệ giữa các $\xi_{ki}$ một mặt, các $\psi_{ij}$ mặt khác: các điều kiện đối với các $\xi_{ki}$ có thể viết dưới dạng

\sum_{k=1}^n \left( \xi_{ik} \frac{\partial \xi_{jl}}{\partial x_k} - \xi_{jk} \frac{\partial \xi_{il}}{\partial x_k} \right) = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k \xi_{kl} \quad (1 \leq i, j \leq r, 1 \leq l \leq n)

trong đó các $c_{ij}^k$ là các hằng số $(1 \leq i, j, k \leq r)$ phản đối xứng theo $i, j$ . Các điều kiện đối với các $\psi_{ij}$ dưới dạng do Maurer cho là:

\frac{\partial \psi_{kl}}{\partial a_m} - \frac{\partial \psi_{km}}{\partial a_l} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i, j \leq r} c_{ij}^k (\psi_{il} \psi_{jm} - \psi_{jl} \psi_{im}) (1 \leq k, l, m \leq r).

Bằng cách đưa vào ma trận $(\alpha_{ij})$ phản biến với $(\psi_{ij})$ và các phép biến đổi vô cùng bé

X_k = \sum_{i=1}^n \xi_{ki} \frac{\partial}{\partial x_i}, \quad A_k = \sum_{j=1}^r \alpha_{kj} \frac{\partial}{\partial a_j} \quad (1 \leq k \leq r),

(25.16) và (25.17) có thể viết tương ứng:

[X_i, X_j] = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k X_k \quad (1 \leq i, j \leq r)

[A_i, A_j] = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k A_k.

Đảo lại, nếu cho $r$ phép biến đổi vô cùng bé $X_k (1 \leq k \leq r)$ , độc lập tuyến tính và thỏa mãn các điều kiện (25.19), thì các nhóm con một tham số được sinh bởi các phép biến đổi này sinh ra một nhóm các phép biến đổi với $r$ tham số cốt yếu.

Sau cùng, định lý thứ ba ([203], v. I, pp. 170 và 297 và v. 3, p. 597) quy việc xác định các hệ phép biến đổi vô cùng bé $(X_k)_{1 \leq k \leq r}$ thỏa mãn (25.19) về một bài toán thuần túy đại số: ta phải có

c_{ij}^k + c_{ji}^k = 0 \tag{25.21}

\sum_{l=1}^r (c_{il}^m c_{jk}^l + c_{kl}^m c_{ij}^l + c_{jl}^m c_{ki}^l) = 0 \quad (1 \leq i, j, k, m \leq r). \tag{25.22}

Ngược lại, $^{10}$ nếu (25.21) và (25.22) được thỏa mãn, thì tồn tại một hệ các phép biến đổi vô cùng bé thỏa mãn các quan hệ (25.19), do đó có một nhóm các phép biến đổi với $r$ tham số (nói cách khác, các tổ hợp tuyến tính với hệ số hằng của các $X_k$ lập thành một đại số Lie, và ngược lại mọi đại số Lie có số chiều hữu hạn đều có thể thu được theo cách này).

Các kết quả này được hoàn chỉnh bởi việc nghiên cứu các bài toán đẳng cấu. Hai nhóm phép biến đổi được gọi là tương tự nếu có thể chuyển từ nhóm này sang nhóm kia bằng một phép biến đổi khả nghịch của các tọa độ trên các biến và một phép biến đổi khả nghịch của các tọa độ trên các tham số: ngay từ đầu công trình nghiên cứu của mình, Lie đã gặp khái niệm này một cách tự nhiên liên quan đến định nghĩa của các "tham số chính tắc". Ông chỉ ra rằng hai nhóm là tương tự nếu, nhờ một phép biến đổi trên "các biến", người ta có thể đưa các phép biến đổi vô cùng bé của nhóm này sang các phép biến đổi vô cùng bé của nhóm kia ([203], v. I, p. 329). Một điều kiện cần để điều đó xảy ra là các đại số Lie của hai nhóm phải đẳng cấu, điều mà Lie diễn đạt bằng cách nói rằng các nhóm là "gleichzusammengesetzt", nhưng điều kiện này không đủ, và cả một chương ([203], v. I, chap. 19) được dành cho việc tìm các điều kiện bổ sung bảo đảm rằng các nhóm là "tương tự". Mặt khác lý thuyết các nhóm hoán vị đã cung cấp khái niệm "đẳng cấu holoedric" của hai nhóm như vậy (đẳng cấu của các nhóm "trừu tượng" nền tảng); Lie chuyển khái niệm này sang các nhóm phép biến đổi, và chỉ ra rằng hai nhóm như vậy là "đẳng cấu holoedric" khi và chỉ khi các đại số Lie của chúng đẳng cấu ([203], v. I, p. 418). Đặc biệt, mọi nhóm phép biến đổi đều đẳng cấu holoedric với mỗi nhóm tham số của nó, và điều đó cho thấy rằng, khi người ta muốn nghiên cứu cấu trúc của nhóm, các "biến" mà trên đó chúng tác động không quan trọng lắm và trên thực tế mọi sự đều quy về đại số Lie. $^{11}$

Luôn luôn theo phép loại suy với lý thuyết các nhóm hoán vị. Lie đưa vào các khái niệm nhóm con, nhóm con chuẩn tắc, "đẳng cấu meriedric" (đồng cấu toàn ánh), và chỉ ra rằng chúng tương ứng với các khái niệm đại số con, iđêan và các đồng cấu toàn ánh của các đại số Lie; ngoài ra ông

$^{10}$ Kết quả đảo lại này không đạt được mà không gặp khó khăn. Chứng minh đầu tiên mà Lie đưa ra cho nó ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75) gồm việc chuyển qua nhóm adjoint và trên thực tế chỉ đúng nếu tâm của đại số Lie đã cho thu về 0. Về sau ông đưa ra hai chứng minh tổng quát của nó ([203], v. 2, chap. XVII and v. 3, pp. 599-604); điều khá có ý nghĩa là chứng minh thứ nhất dựa trên các phép biến đổi tiếp xúc và rằng Lie thấy nó tự nhiên hơn chứng minh thứ hai.

$^{11}$ Có thể nhận thấy rằng có một sự phát triển tương tự trong lý thuyết các nhóm "trừu tượng", đặc biệt là các nhóm hữu hạn. Ban đầu chúng được định nghĩa như các nhóm phép biến đổi, nhưng Cayley đã sớm nhận xét rằng điều cốt yếu là cách thức trong đó các phép biến đổi được hợp thành với nhau, chứ không phải bản chất của biểu diễn cụ thể của nhóm bằng các phép hoán vị của những đối tượng riêng biệt.

đã gặp từ rất sớm một ví dụ đặc biệt quan trọng của "đẳng cấu meriedric", biểu diễn adjoint, và đã nhận ra các liên hệ của nó với tâm của nhóm ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75). Đối với các kết quả này, cũng như đối với các định lý cơ bản, công cụ cốt yếu là định lý của Jacobi-Clebsch cho tính khả tích đầy đủ của một hệ vi phân (một trong những dạng của định lý được gọi là "của Frobenius"); tình cờ ông còn cho một chứng minh mới của nó, dùng các nhóm một tham số ([203], v. I, chap. 6).

Các khái niệm tính bắc cầu và tính nguyên thủy, quan trọng đến vậy đối với các nhóm hoán vị, cũng nảy sinh một cách tự nhiên đối với các nhóm phép biến đổi "hữu hạn và liên tục", và chuyên luận của Lie-Engel nghiên cứu chúng một cách chi tiết ([203], v. I, chap. 13 and passim); các quan hệ với các nhóm con ổn định một điểm và với khái niệm không gian thuần nhất được nhận thấy (trong chừng mực mà điều đó có thể có được mà không đặt mình vào một quan điểm toàn cục) ([203], v. I, p. 425).

Cuối cùng, "từ điển" được hoàn chỉnh, trong [203], bằng việc đưa vào các khái niệm nhóm dẫn xuất và nhóm giải được (được Lie gọi là "nhóm khả tích"; thuật ngữ này, do lý thuyết các phương trình vi phân gợi ra, sẽ còn được dùng cho đến công trình của H. Weyl) ([203], v. I, p. 261 and v. 3, pp. 678-679); ngoài ra quan hệ giữa các giao hoán tử và các ngoặc đã được Lie nhận thấy ngay từ năm 1883 ([202], vol. 5, p. 358).

Những chứng minh khác của các định lý cơ bản.

Trong [278 b], F. Schur chỉ ra rằng trong các tọa độ chính tắc các $\psi_{ik}$ của (15) thỏa mãn các phương trình vi phân

\frac{d}{dt}(t\psi_{ik}(ta)) = \delta_{ik} + \sum_{j,l} c^k_{jl} ta_l \psi_{ji}(ta).

Các phương trình này lấy tích phân được và cho một công thức tương đương với công thức

\varpi(X) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!} (\mathrm{ad}(X))^n

cho vi phân phải $\varpi(X)$ của ánh xạ mũ tại điểm $X$ ; đặc biệt, trong các tọa độ chính tắc, các $\psi_{ij}$ được kéo dài thành các hàm nguyên của các $a_k$ . Từ đó F. Schur suy ra một kết quả làm chính xác thêm một nhận xét trước đó của Lie: nếu, trong định nghĩa (25.4) của các nhóm phép biến đổi, người ta chỉ giả thiết rằng các $f_i$ thuộc lớp $C^2$ , thì nhóm đó đẳng cấu holoedric với một nhóm giải tích. $^{12}$ Tiếp theo các nghiên cứu của ông về việc lấy tích phân

$^{12}$ Lie đã từng phát biểu không chứng minh một kết quả thuộc loại này ([202], vol. 6, Abh. V, pp. 230-236). Ông đã đi tới đó qua các nghiên cứu của mình về các cơ sở của hình học ("bài toán của Helmhotz"), ở đó ông đã nhận thấy rằng các giả thiết giải tích không phải là tự nhiên.

của các hệ vi phân, E. Cartan ([52 a], v. II_2, p. 371) đưa vào năm 1904 các dạng Pfaff

\omega_k = \sum_{i=1}^r \psi_{ki} da_i \quad (1 \leq i \leq r)

(với ký hiệu của (25.15)), về sau được gọi là các dạng Maurer-Cartan. Khi đó các điều kiện (25.17) của Maurer có thể được viết

d\omega_k = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} c_{ij}^k \omega_i \wedge \omega_j;

E. Cartan chỉ ra rằng có thể phát triển lý thuyết các nhóm liên tục hữu hạn khi xuất phát từ các $\omega_k$ và thiết lập sự tương đương giữa quan điểm này với quan điểm của Lie. Nhưng đối với ông, mối quan tâm của phương pháp này đặc biệt ở chỗ nó thích nghi với các nhóm "vô hạn và liên tục", đối với chúng ông đẩy lý thuyết đi xa hơn nhiều so với điều Lie đã làm, và ở chỗ nó cho phép đặt nền tảng cho lý thuyết của ông về "mốc di động" tổng quát.

IV. LÝ THUYẾT CÁC ĐẠI SỐ LIE.

Một khi sự tương ứng giữa các nhóm biến đổi và các đại số Lie đã được xác lập, lý thuyết sẽ mang một bước ngoặt rõ ràng là đại số hơn và sẽ được tập trung vào việc nghiên cứu sâu các đại số Lie. $^{13}$

Một thời kỳ đầu tiên và ngắn, từ 1888 đến 1894, được đánh dấu bởi các công trình của Engel, của học trò ông là Umlauf và nhất là Killing và E. Cartan, đã đi đến một chuỗi kết quả ngoạn mục về các đại số Lie phức. Ta đã thấy ở trên rằng khái niệm đại số Lie giải được là do chính Lie, người đã chứng minh (trong trường hợp phức) định lý đưa các đại số Lie tuyến tính giải được về dạng tam giác ([203], v. I, p. 270). $^{14}$ Killing nhận thấy [180] rằng trong một đại số Lie tồn tại một iđêan giải được lớn nhất (ngày nay gọi là căn), và rằng thương của đại số Lie bởi căn của nó có căn bằng không; ông gọi các đại số Lie có căn bằng không là nửa đơn, và chứng minh rằng chúng là tích của các đại số đơn (khái niệm sau này đã được đưa vào trước đó bởi

$^{13}$ Thuật ngữ "đại số Lie" được H. Weyl đưa vào năm 1934: trong công trình năm 1925 của ông, ông đã dùng cách nói "nhóm vô cùng bé". Trước đó, người ta chỉ nói về "các biến đổi vô cùng bé $X_1 f, \ldots, X_r f$ " của nhóm, mà Lie và Engel thường rút gọn bằng cách nói "nhóm $X_1 f, \ldots, X_r f$ ".

$^{14}$ Hầu như ngay từ lúc bắt đầu các nghiên cứu của mình, Lie đã gặp các nhóm tuyến tính giải được, và thực ra thậm chí là các nhóm lũy linh ([202], vol. 5, Abh. IV, pp. 78-133).

Lie, người đã chứng minh tính đơn của các đại số Lie "cổ điển" ([203], v. 3, p. 682)).

Mặt khác, Killing đưa vào, trong một đại số Lie, phương trình đặc số $\det(\mathrm{ad}(x) - \omega.1) = 0$ , mà Lie đã gặp khi nghiên cứu các đại số con Lie chiều 2 chứa một phần tử cho trước của một đại số Lie. Chúng tôi dẫn tới các Ghi chú lịch sử khác để phân tích các phương pháp nhờ đó Killing, khi nghiên cứu một cách sâu sắc các tính chất của các nghiệm của phương trình đặc số "tổng quát" đối với một đại số nửa đơn, đã đi tới kết quả đáng chú ý nhất của ông, đó là sự xác định đầy đủ các đại số Lie đơn (phức). $^{15}$

Killing chứng minh rằng đại số dẫn xuất của một đại số giải được là "hạng 0" (nghĩa là $\mathrm{ad}\, x$ là lũy linh với mọi phần tử $x$ của đại số). Ít lâu sau, Engel chứng minh rằng các đại số "hạng 0" là giải được (mệnh đề này về thực chất chính là điều ngày nay được gọi là định lý Engel). Trong luận án của mình, E. Cartan mặt khác đưa vào cái ngày nay được gọi là "dạng Killing", và thiết lập hai tiêu chuẩn cơ bản đặc trưng, nhờ dạng này, các đại số Lie giải được và các đại số Lie nửa đơn.

Killing đã khẳng định ([180], IV) rằng đại số dẫn xuất của một đại số Lie là tổng của một đại số nửa đơn và căn của nó, căn này là lũy linh, nhưng chứng minh của ông là không đầy đủ. Ít lâu sau, E. Cartan thông báo không chứng minh ([52 a], v. I_1, p. 104) rằng tổng quát hơn, mọi đại số Lie đều là tổng của căn của nó và một đại số con nửa đơn; kết quả duy nhất theo hướng này được thiết lập một cách không thể tranh cãi vào thời kỳ ấy là một định lý của Engel khẳng định sự tồn tại, trong mọi đại số Lie không giải được, của một đại số con Lie đơn chiều 3. Chứng minh được công bố đầu tiên (đối với các đại số Lie phức) của mệnh đề của Cartan là của E. E. Levi [200]; một chứng minh khác (cũng đúng trong trường hợp thực) được J. H. C. Whitehead đưa ra năm 1936 [334 a]. Năm 1942, A. Malcev đã hoàn thiện kết quả này bằng định lý duy nhất về các "thiết diện Levi" sai khác nhau bởi liên hợp.

Ngay từ công trình đầu tiên của mình, Lie đã đặt ra cho mình bài toán đẳng cấu của mọi đại số Lie với một đại số Lie tuyến tính. Ông đã nghĩ rằng mình đã giải quyết được nó theo hướng khẳng định bằng cách xét biểu diễn adjoint (và do đó suy ra một chứng minh của "định lý thứ ba" của ông) ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75); ông nhanh chóng nhận ra rằng chứng minh của mình chỉ đúng đối với các đại số Lie có tâm bằng không; sau ông, câu hỏi này còn bỏ ngỏ rất lâu, và được Ado giải quyết theo hướng khẳng định vào năm 1935 [2 a]. Mặt khác, về cơ bản Lie đã đặt ra cho mình bài toán xác định các biểu diễn tuyến tính có chiều cực tiểu của các đại số Lie đơn, và đã giải được nó đối với các đại số cổ điển; trong Luận án của mình, Cartan cũng đã giải quyết bài toán này

$^{15}$ Ngoại trừ việc sau đó ông tìm được hai đại số ngoại lệ chiều 52 mà ông không nhận ra là đẳng cấu. (Ở đây chỉ là trường hợp các đại số Lie đơn phức, vì một bài toán tổng quát hơn không được xét vào thời kỳ ấy; các phương pháp của Killing thực ra đúng với mọi trường đóng đại số có đặc số 0).

đối với các đại số đơn ngoại lệ; $^{16}$ các phương pháp mà ông dùng trong ngữ cảnh này sẽ được chính ông tổng quát hóa hai mươi năm sau để thu được tất cả các biểu diễn bất khả quy của các đại số Lie đơn thực hoặc phức.

Tính chất phân tích được hoàn toàn của một biểu diễn tuyến tính dường như đã được Study gặp lần đầu tiên (dưới một dạng hình học). Trong một bản thảo không công bố, nhưng được trích trong ([203], v. 3, pp. 785-788), ông chứng minh tính chất này cho biểu diễn tuyến tính của đại số Lie của $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ , và thu được các kết quả bộ phận cho $\mathrm{SL}(3, \mathbf{C})$ và $\mathrm{SL}(4, \mathbf{C})$ . Nhân dịp này, Lie và Engel phỏng đoán rằng định lý phân tích được hoàn toàn là đúng đối với $\mathrm{SL}(n, \mathbf{C})$ dù $n$ là bao nhiêu. Tính phân tích được hoàn toàn của các biểu diễn tuyến tính của các đại số Lie nửa đơn đã được H. Weyl thiết lập vào năm 1925 $^{17}$ bằng một lập luận có tính chất toàn cục (xem sau). Chứng minh đại số đầu tiên được Casimir và van der Waerden thu được vào năm 1935 [55]; những chứng minh đại số khác về sau được cho bởi R. Brauer [34 b] và J. H. C. Whitehead [334 b].

Sau cùng, trong quá trình nghiên cứu về ánh xạ mũ (x. infra), H. Poincaré ([251], v. III) xét đại số kết hợp các toán tử vi phân mọi cấp, sinh bởi các toán tử của một đại số Lie; về thực chất ông chỉ ra rằng, nếu $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của một đại số Lie, thì đại số kết hợp sinh bởi các $X_i$ có làm cơ sở những hàm đối xứng nào đó của các $X_i$ (các tổng của những "đơn thức" không giao hoán thu được từ một đơn thức đã cho bởi mọi hoán vị của các thừa số của nó). Phần cốt yếu trong chứng minh của ông có bản chất đại số, và cho phép ông thu được cấu trúc của đại số bao. Những chứng minh tương tự đã được cho vào năm 1937 bởi G. Birkhoff [22 b] và E. Witt [337 b]. $^{18}$

Phần lớn các công trình được dẫn ở trên chỉ giới hạn ở các đại số Lie thực hoặc phức, là những đại số duy nhất tương ứng với các nhóm Lie theo nghĩa thông thường. Việc nghiên cứu các đại số Lie trên một trường khác $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ được Jacobson [172 a] đảm nhận; ông chỉ ra rằng phần lớn các kết quả cổ điển vẫn còn đúng trên một trường có đặc số không.

$^{16}$ Quan điểm của Cartan là nghiên cứu các mở rộng đại số Lie không tầm thường của một đại số Lie đơn và một căn (giao hoán) có chiều cực tiểu. $^{17}$ Nhân dịp này H. Weyl nhận xét rằng phép dựng biểu diễn bất khả quy do E. Cartan đưa ra đã ngầm sử dụng tính chất này. $^{18}$ Việc sử dụng đầu tiên các toán tử vi phân cấp cao sinh bởi các $X_i$ hẳn là việc dùng "toán tử Casimir" để chứng minh định lý phân tích được hoàn toàn. Sau năm 1950, các nghiên cứu của Gelfand và trường phái của ông, cũng như của Harish-Chandra, về các biểu diễn tuyến tính vô hạn chiều, đã đưa các toán tử này lên hàng đầu.

Công trình nghiên cứu đầu tiên liên quan đến ánh xạ mũ là của E. Study và F. Engel; Engel [104 b] nhận xét rằng hàm mũ không toàn ánh đối với $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ (chẳng hạn $\begin{pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ) không phải là một hàm mũ nếu $a \neq 0$ , nhưng lại là toàn ánh đối với $\mathrm{GL}(n, \mathbf{C})$ , do đó cũng đối với $\mathrm{PGL}(n, \mathbf{C})$ (tính chất sau này đã được Study ghi nhận trước đó cho $n = 2$ ); do đó $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ và $\mathrm{PGL}(2, \mathbf{C})$ cho một ví dụ về hai nhóm địa phương đẳng cấu, nhưng tuy vậy lại rất khác nhau từ quan điểm toàn cục. Engel cũng chỉ ra rằng hàm mũ là toàn ánh trong các nhóm cổ điển khác, sau khi bổ sung các phép vị tự; công trình này được Maurer, Study và những người khác tiếp tục khai triển lại, mà không đem lại những kết quả mới đáng kể.

Năm 1899, H. Poincaré ([251], v. III, pp. 169-172 and 173-212), bắt tay vào nghiên cứu ánh xạ mũ từ một quan điểm khác. Các hồi ký của ông dường như đã được viết vội vàng, vì ở nhiều chỗ ông khẳng định rằng mọi phần tử của một nhóm liên thông đều là một hàm mũ, trong khi ở chỗ khác ông lại cho các ví dụ ngược lại. Các kết quả của ông chủ yếu liên quan đến nhóm adjoint: ông chỉ ra rằng một phần tử nửa đơn của một nhóm như vậy $G$ có thể là hàm mũ của vô số phần tử của đại số Lie $L(G)$ , trong khi một phần tử không nửa đơn có thể không phải là một hàm mũ. Nếu $\mathrm{ad}(X)$ không có trị riêng nào là một bội không khác không của $2\pi i$ , thì exp là étale tại $X$ . Ông cũng chứng minh rằng, nếu $U$ và $V$ mô tả các vòng trong $L(G)$ , và nếu $W$ được xác định bởi tính liên tục sao cho $e^U . e^V = e^W$ , thì ta không nhất thiết trở về xác định ban đầu của $W$ . Ông dùng một công thức về các phần dư mà về cơ bản quy về

\Phi(\mathrm{ad}\, X) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{\Phi(\xi) d\xi}{\xi - \mathrm{ad}\, X}

trong đó $\mathrm{ad}(X)$ là một phần tử nửa đơn mà các trị riêng khác không có bội số bằng 1, $\Phi$ là một chuỗi nguyên với bán kính hội tụ đủ lớn, tích phân được lấy trên một vòng bao lấy các trị riêng của $\mathrm{ad}\, X$ ; ông cũng nghiên cứu điều gì xảy ra khi $X$ tiến tới một phép biến đổi có các trị riêng bội.

Việc tìm các biểu thức của $W$ như một hàm của $U$ và $V$ trong công thức $e^U . e^V = e^W$ đã, từ hơi trước các công trình của Poincaré, là đối tượng của hai hồi ký của Campbell [46 a và b]. Như Baker viết ít lâu sau đó: "...lý thuyết Lie gợi ý một cách hiển nhiên rằng tích $e^U e^V$ có dạng $e^W$ trong đó $W$ là một chuỗi phản xứng theo $U$ và $V$ ...". Các công trình tiếp theo về chủ đề này nhằm làm cho mệnh đề này được chính xác và cho một công thức tường minh (hoặc một phương pháp phép dựng) cho $W$ ("công thức Hausdorff"). Sau Campbell và Poincaré, Pascal, Baker [13] và Hausdorff [152 a] quay lại bài toán này; mỗi người đều cho rằng các chứng minh của người đi trước mình không có sức thuyết phục; khó khăn chủ yếu nằm ở ý nghĩa của từ "phản xứng": có phải đây là trường hợp của các phần tử của đại số Lie riêng đang được xét, hay của các biểu thức "ký hiệu" phổ quát? Campbell, Poincaré và Baker đều không phát biểu rõ ràng về điểm này. Trái lại, hồi ký của Hausdorff thì hoàn toàn chính xác; trước hết ông làm việc trong đại số các chuỗi kết hợp hình thức (không giao hoán) theo một số hữu hạn bất định nguyên và coi $U, V, W$ như các phần tử của đại số này. Ông chứng minh sự tồn tại của $W$ bằng một lập luận về các phương trình vi phân tương tự như các lập luận của những người đi trước. Cũng chính lập luận đó được ông dùng để chứng minh sự hội tụ của chuỗi khi các bất định nguyên trong đó được thay thế bằng các phần tử của một đại số Lie có số chiều hữu hạn. Như Baker đã nhận xét, và Poincaré cũng độc lập như vậy, kết quả này có thể được dùng để cho một chứng minh của định lý thứ ba của Lie; nó làm sáng tỏ sự tương ứng giữa các nhóm và các đại số Lie, chẳng hạn đối với nhóm các giao hoán tử.

Năm 1947, Dynkin [98 a] lại xét bài toán này, và thu được các hệ số tường minh của công thức Hausdorff, bằng cách ngay từ đầu xét một đại số Lie định chuẩn (có số chiều hữu hạn hay không, trên $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ hoặc trên một trường ultrametric).19

VI. BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH VÀ CÁC NHÓM LIE TOÀN CỤC.

Không có công trình nào mà chúng ta vừa nói tới đã trực diện giải quyết bài toán định nghĩa và nghiên cứu các nhóm Lie toàn cục. Những bước đầu tiên trên con đường này trở lại với H. Weyl. Ông được gợi hứng từ hai lý thuyết mà cho đến lúc đó đã phát triển độc lập: lý thuyết biểu diễn tuyến tính của các đại số Lie phức nửa đơn, do E. Cartan xây dựng, và lý thuyết biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn, do Frobenius xây dựng và vừa được I. Schur chuyển sang nhóm trực giao bằng cách dùng một ý tưởng của Hurwitz. Người sau này đã chỉ ra [168] cách có thể dựng các bất biến cho các nhóm trực giao hoặc các nhóm unita bằng cách thay thế phép toán lấy trung bình trên một nhóm hữu hạn bằng phép tích phân đối với một độ đo bất biến. Ông cũng đã nhận thấy rằng khi áp dụng phương pháp này cho nhóm unita, người ta thu được các bất biến cho nhóm tuyến tính tổng quát, một ví dụ đầu tiên của "mẹo unita". Năm 1924, I. Schur [279 e] đã dùng thủ tục này để chỉ ra tính khả quy hoàn toàn của các biểu diễn của nhóm trực giao $O(n)$ và của nhóm unita $U(n)$ , bằng phép dựng một dạng Hermit bất biến dương không suy biến; từ đó ông suy ra, bằng "mẹo unita", tính khả quy hoàn toàn của các biểu diễn chỉnh hình của $O(n, \mathbf{C})$ và của $SL(n, \mathbf{C})$ , thiết lập các hệ thức trực giao cho các đặc trưng của $O(n)$ và của $U(n)$ và xác định các đặc trưng của $O(n)$ . H. Weyl cũng mở rộng phương pháp này cho các đại số Lie phức nửa đơn [331 b]. Với một đại số như vậy $g$ , ông chỉ ra rằng nó có một "dạng compact thực" (điều này tương đương với việc nói rằng nó xuất phát từ một đại số

19 Trong trường hợp ultrametric, phương pháp cổ điển về majorant không thể mở rộng mà không có những thận trọng cần thiết, do dáng điệu tiệm cận của định giá $p$ -adic của $1/n$ khi $n$ tiến ra vô hạn.

$g_0$ trên $\mathbf{R}$ , mà nhóm liên hợp $G_0$ của nó là compact, bằng cách mở rộng các vô hướng từ $\mathbf{R}$ sang $\mathbf{C}$ . Hơn nữa ông chỉ ra rằng nhóm cơ bản của $G_0$ là hữu hạn, do đó phủ phổ quát $^{20}$ của $G_0$ là compact. Từ đó ông suy ra, bằng một sự thích nghi thích hợp của thủ tục của Schur, tính khả quy hoàn toàn của các biểu diễn của $g$ , và cũng cho, bằng các phương pháp toàn cục, sự xác định các đặc trưng của các biểu diễn của $g$ . Trong một bức thư gửi I. Schur [331 a], H. Weyl tóm tắt các kết quả của Cartan mà Schur không biết (x. [279 e], p. 299, chú thích ở chân trang) và so sánh hai quan điểm: phương pháp của Cartan cho tất cả các biểu diễn chỉnh hình của nhóm đơn liên thông có đại số Lie là $g$ ; trong trường hợp của nhóm trực giao, người ta cũng thu được các biểu diễn của một phủ hai lớp (về sau được gọi là nhóm spinor), những biểu diễn đã thoát khỏi sự chú ý của Schur; mặt khác, phương pháp của Schur có ưu điểm là chứng minh tính khả quy hoàn toàn và cho các đặc trưng một cách tường minh.

Sau các công trình của H. Weyl, E. Cartan chấp nhận một quan điểm công khai toàn cục trong các nghiên cứu của ông về các không gian đối xứng và các nhóm Lie. Chính quan điểm này là cơ sở của bản trình bày năm 1930 của ông ([52 a], v. I_2, tr. 1165-1225) về lý thuyết các nhóm “hữu hạn và liên tục”. Ở đó, đặc biệt, người ta thấy chứng minh đầu tiên của biến thể toàn cục của định lý cơ bản thứ ba (sự tồn tại của một nhóm Lie có đại số Lie cho trước); Cartan cũng chỉ ra rằng mọi nhóm con đóng của một nhóm Lie thực đều là một nhóm Lie, điều này tổng quát hóa một kết quả của J. von Neumann về các nhóm con đóng của nhóm tuyến tính [324 b]. Trong Hồi ký này, von Neumann cũng chỉ ra rằng mọi biểu diễn liên tục của một nhóm phức nửa đơn đều là giải tích thực.

Sau công trình này, lý thuyết các nhóm Lie theo nghĩa “cổ điển” (nghĩa là có số chiều hữu hạn trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ ) ít nhiều đã được cố định trong những nét chính của nó. Bản trình bày chi tiết đầu tiên về nó được Pontrjagin đưa ra trong cuốn sách của ông về các nhóm tôpô [253]; ở đó ông giữ một quan điểm vẫn còn khá gần với quan điểm của Lie, nhưng phân biệt cẩn thận cái địa phương với cái toàn cục. Tiếp theo là cuốn sách của Chevalley [62 d], cũng chứa sự bàn luận có hệ thống đầu tiên về lý thuyết các đa tạp giải tích và phép tính vi phân ngoài; các “biến đổi vô cùng bé” của Lie ở đó xuất hiện như các trường vectơ, và đại số Lie của một nhóm Lie $G$ được đồng nhất với không gian các trường vectơ bất biến bên trái dưới tác động của $G$ . Ông gạt sang một bên phương diện “groupuscule” và phương diện “nhóm các phép biến đổi”.

$^{20}$ H. Weyl không định nghĩa tường minh khái niệm này, tuy ông đã quen thuộc với nó từ khi soạn bài giảng của mình về các mặt Riemann (1913). Chính O. Schreier [276 a and b] là người, vào các năm 1926-1927, lần đầu tiên đưa ra định nghĩa của một nhóm tôpô và của một nhóm “liên tục” (tức là địa phương đồng phôi với một không gian Euclid), cũng như phép dựng của phủ phổ quát của một nhóm như vậy.

VII. MỞ RỘNG KHÁI NIỆM NHÓM LIE.

Ngày nay, sức sống của lý thuyết Lie được biểu hiện bởi tính đa dạng của các áp dụng của nó (trong tôpô, hình học vi phân, số học, v.v.) cũng như bởi việc tạo ra những lý thuyết song song, trong đó cấu trúc của đa tạp vi phân nền được thay bằng một cấu trúc lân cận ( $p$ -adic, đa tạp đại số, lược đồ, lược đồ hình thức, ...). Ở đây chúng ta không cần trình bày lịch sử của tất cả các sự phát triển ấy, và chúng ta sẽ chỉ giới hạn ở hai trong số đó: các nhóm Lie Banach và các nhóm Lie $p$ -adic.

a) Các nhóm Lie Banach.

Đây là trường hợp các nhóm Lie "vô hạn chiều". Theo quan điểm địa phương, một lân cận của 0 trong một không gian Euclid được thay bằng một lân cận của 0 trong một không gian Banach. Đó là điều G. Birkhoff đã làm vào năm 1936 [22 a], qua đó đi đến khái niệm đại số Lie định chuẩn đầy đủ và đến sự tương ứng của nó với một "groupuscule" được định nghĩa trên một tập mở của một không gian Banach. Khoảng năm 1950, Dynkin hoàn thiện các kết quả này bằng một mở rộng sang trường hợp này của công thức Hausdorff (xem supra).

Các định nghĩa và kết quả của Birkhoff và Dynkin đều là địa phương. Cho đến thời gian gần đây, dường như chưa có ai thử làm tường minh lý thuyết toàn cục tương ứng, chắc hẳn là vì thiếu các áp dụng.

b) Các nhóm Lie $p$ -adic.

Những nhóm như vậy lần đầu tiên xuất hiện vào năm 1907 trong công trình của Hensel [157 e] về các hàm giải tích $p$ -adic (được định nghĩa bởi các khai triển thành chuỗi nguyên). Ông nghiên cứu đặc biệt hàm mũ và hàm lôgarit; mặc dù cách ứng xử của các chuỗi định nghĩa chúng thoạt tiên có vẻ đáng ngạc nhiên (chẳng hạn chuỗi mũ không hội tụ ở mọi nơi), các tính chất phiếm hàm của chúng vẫn còn đúng, điều này cung cấp một đẳng cấu địa phương giữa nhóm cộng và nhóm nhân của $\mathbf{Q}_p$ (hoặc, nói chung hơn, của mọi trường ultrametric đầy đủ có đặc số không).

Cũng vẫn là các nhóm giao hoán (nhưng lần này không tuyến tính) mà các công trình của A. Weil [330 a] và E. Lutz [210] về các đường cong elliptic $p$ -adic (1936) liên quan đến. Ngoài các áp dụng số học, ở đó còn có phép dựng một đẳng cấu địa phương của nhóm với nhóm cộng, dựa trên việc lấy tích phân của một dạng vi phân bất biến. Phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các đa tạp Abel, như C. Chabauty nhận xét ít lâu sau đó; ông dùng nó mà không giải thích thêm gì để chứng minh một trường hợp riêng của "giả thuyết Mordell" [61].

Từ lúc đó, đã rõ rằng lý thuyết địa phương của các nhóm Lie có thể được áp dụng gần như không thay đổi cho trường hợp $p$ -adic. Các định lý cơ bản của "từ điển" nhóm Lie-đại số Lie được thiết lập năm 1942 trong luận án của R. Hooke [166], một học trò của Chevalley; công trình này cũng chứa tương tự $p$ -adic của định lý E. Cartan về các nhóm con đóng của các nhóm Lie thực.

Gần đây hơn, M. Lazard [195 b] phát triển một dạng chính xác hơn của "từ điển" ấy cho các nhóm giải tích compắc trên $\mathbf{Q}_p$ . Ông chỉ ra rằng sự tồn tại của một cấu trúc giải tích $p$ -adic trên một nhóm compắc $G$ gắn chặt với sự tồn tại của những lọc nào đó trên $G$ , và đưa ra nhiều áp dụng của điều đó (chẳng hạn cho đối đồng điều của $G$ ). Một trong các công cụ của Lazard là một sự cải tiến các kết quả của Dynkin về sự hội tụ của chuỗi Hausdorff $p$ -adic [195 a].

VIII. CÁC ĐẠI SỐ LIE TỰ DO.

Chúng ta còn phải nói đến một loạt công trình về các đại số Lie trong đó mối liên hệ với lý thuyết các nhóm Lie là rất lỏng lẻo; mặt khác, những nghiên cứu này có các áp dụng quan trọng trong lý thuyết các nhóm "trừu tượng", và đặc biệt hơn là các nhóm lũy linh.

Nguồn gốc của việc này là công trình của P. Hall [144], xuất hiện năm 1932. Tuy nhiên ở đó chưa hề có vấn đề về các đại số Lie: điều mà P. Hall nhắm tới là nghiên cứu một lớp nào đó các $p$ -nhóm, những nhóm mà ông gọi là "chính quy". Nhưng điều đó dẫn ông tới việc khảo sát chi tiết các giao hoán tử lặp và chuỗi trung tâm dưới của một nhóm; nhân dịp này ông thiết lập một biến thể của đồng nhất thức Jacobi, cũng như "công thức Hall"

(xy)^n = x^n y^n (x, y)^{n(n-1)/2} \ldots

Ít lâu sau (vào các năm 1935-1937), các công trình cơ bản của W. Magnus [215 a and b] và E. Witt [337 b] xuất hiện. Trong [215 a], Magnus dùng cùng đại số các chuỗi hình thức $\hat{A}$ như Hausdorff (về sau được gọi là "đại số Magnus"); ông nhúng nhóm tự do $F$ vào đó và dùng bộ lọc tự nhiên của $\hat{A}$ để thu được một dãy giảm $(F_n)$ các nhóm con của $F$ ; đó là một trong những ví dụ đầu tiên của lọc. Ông phỏng đoán rằng các $F_n$ trùng nhau với các số hạng của chuỗi trung tâm dưới của $F$ . Phỏng đoán này được chứng minh trong hồi ký thứ hai của ông [215 b]; cũng chính ở đó ông tường minh liên hệ các ý tưởng của mình với các ý tưởng của P. Hall, và ông định nghĩa đại số Lie tự do $L$ (như một đại số con của $A$ ), mà về thực chất ông chỉ ra rằng nó được đồng nhất với $F$ phân bậc. Trong [337 b], Witt bổ sung kết quả này ở một số điểm. Đặc biệt, ông chỉ ra rằng đại số bao của $L$ là một đại số kết hợp tự do và từ đó suy ra ngay lập tức hạng của các thành phần thuần nhất của $L$ ("các công thức Witt").

Còn về việc xác định cơ sở của $L$ được biết dưới tên "cơ sở Hall", dường như nó chỉ xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1950, trong một chú ý của M. Hall [143], mặc dù nó đã hàm ẩn trong các công trình của P. Hall và W. Magnus được dẫn ở trên.