24. Tích phân trong các không gian không compact địa phương.

Nếu việc nghiên cứu các mối liên hệ giữa tôpô và lý thuyết độ đo có từ những khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các hàm của biến thực, thì chỉ mới rất gần đây tích phân trong các không gian tôpô rời rạc mới được xây dựng một cách tổng quát. Trước khi trình bày lịch sử của những công trình đi trước sự tổng hợp hiện nay, chúng ta sẽ nhắc lại vài bước trong sự tiến triển của các tư tưởng liên quan đến các quan hệ giữa tôpô và độ đo.

Đối với Lebesgue, chỉ là vấn đề tích phân các hàm của một hay nhiều biến thực. Năm 1913, Radon định nghĩa các độ đo tổng quát trên $\mathbf{R}^n$ và các tích phân tương ứng; lý thuyết này được trình bày chi tiết trong công trình [82] của Ch. de la Vallée Poussin và dựa một cách thường xuyên vào các tính chất tôpô của các không gian Euclid. Ít lâu sau, vào năm 1915, Fréchet định nghĩa trong [115 c] các độ đo "trừu tượng" trên một tập hợp được trang bị một $\sigma$-đại số và các tích phân đối với các độ đo ấy; ông nhận thấy rằng như vậy có thể thiết lập các kết quả chính của lý thuyết Lebesgue mà không dùng bất kỳ phương tiện tôpô nào. Ông biện minh cho công việc của mình bằng những lời sau đây, trích từ lời mở đầu của [115 d], phần thứ nhất: "Chẳng hạn, trong một không gian có vô hạn toạ độ nơi các ứng dụng khác nhau của Giải tích đã dẫn đến các định nghĩa không tương đương khác nhau về một dãy hội tụ, nếu một trong các định nghĩa này được thay bằng một định nghĩa khác, thì sẽ không có gì thay đổi trong các tính chất của các họ và các hàm cộng tính của tập hợp trong các không gian ấy". Công trình nghiên cứu của Fréchet được Carathéodory hoàn tất; ông là người có công về định lý quan trọng liên quan đến việc mở rộng một hàm của tập hợp thành một độ đo. Phần đầu cuốn sách của Saks [268] đưa ra một trình bày cô đọng của quan điểm này.

Việc phát hiện ra độ đo Haar trên các nhóm compact địa phương (pp. 231 ff.) và vô số ứng dụng mà nó nhận được ngay lập tức, rồi công trình của Weil và Gelfand trong Giải tích điều hòa, đã dẫn vào năm 1940 đến một sự biến đổi sâu sắc của quan điểm ấy: trong loại vấn đề này, tiện lợi nhất là coi một độ đo như một dạng tuyến tính trên một không gian các hàm liên tục. Phương pháp này buộc phải hạn chế vào các không gian compact hay compact địa phương, nhưng điều đó không phải là một trở ngại đối với gần như toàn thể các ứng dụng; hơn nữa, việc J. Tate và A. Weil đưa Giải tích điều hòa vào các nhóm $p$-adic và các nhóm adèle đã cho phép một sự đổi mới ngoạn mục của lý thuyết số giải tích.

Chính từ một hướng hoàn toàn khác mà xuất hiện sự cần thiết phải mở rộng quan điểm này bằng việc xét các độ đo trên những không gian tôpô không compact địa phương: từng chút một, Lý thuyết xác suất dẫn tới việc nghiên cứu các không gian như thế và cung cấp nhiều ví dụ không tầm thường. Có lẽ nguyên nhân của ảnh hưởng chậm chạp của những sự phát triển ấy lên lý thuyết độ đo phải được tìm trong tính chất tương đối cô lập của Lý thuyết xác suất, vốn vẫn nằm ở bên lề các ngành toán học truyền thống cho đến thời kỳ gần đây.

CÁC ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN DÃY.

Một trong những ngành phát triển nhất của Lý thuyết xác suất cổ điển là ngành các định lý giới hạn (luật số lớn, xu hướng tới luật Gauss-Laplace, ...); đó là trường hợp đào sâu khái niệm về tính đều đặn thống kê được biểu hiện bởi những hiện tượng làm tham gia những quần thể rất lớn. Việc phát biểu toán học đúng đắn các vấn đề ấy đòi hỏi phải đưa vào các độ đo trên không gian các dãy; những không gian này, vốn tạo nên sự khái quát hóa hiển nhiên nhất của các không gian có số chiều hữu hạn, là đối tượng ưa thích của các công trình nghiên cứu về "Giải tích tổng quát" được Fréchet, Lévy, Lusin, ... tiến hành vào khoảng năm 1920. Dù sao, không phải ngẫu nhiên mà Khintchine và Kolmogoroff, những người sáng tạo ra các phương pháp mới trong Lý thuyết xác suất, đều là môn đệ của Lusin, và Lévy rất sớm đã chuyển sang các vấn đề xác suất: đó là hòn đá thử của các phương pháp mới.

Sự xuất hiện ngầm đầu tiên của một độ đo trên một không gian dãy có trong công trình mà E. Borel dành năm 1909 cho các xác suất đếm được [32 b]. Một ý tưởng rất độc đáo của Borel là áp dụng các kết quả xác suất mà ông vừa thu được vào việc chứng minh những tính chất được sở hữu bởi khai triển thập phân của gần như mọi số thực nằm giữa 0 và 1. Ứng dụng này dựa trên nhận xét cơ bản sau đây: hãy xác định mỗi số thực nằm giữa 0 và 1 bằng dãy các chữ số trong khai triển của nó theo một cơ số đã cho $q$ ($q \geq 2$); nếu người ta lần lượt lấy ngẫu nhiên các chữ số khác nhau của một số $x$, độc lập với nhau và với cùng xác suất $1/q$ đối với $0, 1, \ldots, q-1$, thì xác suất để $x$ thuộc vào một khoảng của $[0, 1[$ bằng độ dài của khoảng đó.

Năm 1923, Steinhaus [293] thiết lập một cách chặt chẽ các kết quả ấy và mô tả mô hình toán học chính xác của dãy vô hạn những phép chọn thuộc loại mà Borel đã xét: hãy lấy $q = 2$ để đơn giản hóa và ký hiệu bởi $I$ tập hợp có hai phần tử $\{0, 1\}$; ta trang bị cho $I$ độ đo $\mu$ được xác định bởi $\mu(0) = \mu(1) = \frac{1}{2}$; các phần tử của không gian tích $I^{\mathbf{N}}$ là các dãy $\varepsilon = (\varepsilon(n))_{n \in \mathbf{N}}$ gồm các số bằng 0 hoặc 1 và ánh xạ $\phi : \varepsilon \mapsto \sum_{n \geq 0} \varepsilon(n).2^{-n-1}$ là, trừ ra một tập hợp đếm được, một song ánh từ $I^{\mathbf{N}}$ lên khoảng $[0, 1]$; hơn nữa, $\phi^{-1}$ biến đổi độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$ thành độ đo $P$ trên $I^{\mathbf{N}}$ là tích của các độ đo $\mu$ trên mỗi thừa số. Thực ra Steinhaus không có trong tay một phép dựng cho các độ đo tích;

ông dùng sự tồn tại của quasi-song ánh $\phi$ để xây dựng độ đo $P$ trên $I^{\mathbf{N}}$ xuất phát từ độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$, rồi ông đưa ra một sự đặc trưng hoá tiên đề của $P$. Đẳng cấu do đó thu được cho phép chuyển ngôn ngữ của xác suất sang ngôn ngữ của độ đo và áp dụng các định lý đã biết về tích phân Lebesgue.

Trong cùng công trình đó, Steinhaus xét chuỗi ngẫu nhiên $\sum_{n \geq 0} \sigma_n \cdot a_n$, trong đó các dấu $\sigma_n = \pm 1$ được chọn ngẫu nhiên, độc lập với nhau và với cùng xác suất $\frac{1}{2}$; trong khoảng từ 1928 đến 1935, ông nghiên cứu nhiều chuỗi ngẫu nhiên khác nữa. Về phần mình, Paley, Wiener và Zygmund xét các chuỗi Fourier ngẫu nhiên$^1$ có dạng $\sum_{-\infty}^{\infty} a_n \exp(2\pi i(nt + \Phi_n))$; các "biên độ" $a_n$ là cố định, còn các "pha" $\Phi_n$ là những biến ngẫu nhiên độc lập phân bố đều trên $[0, 1]$. Mặc dù các khó khăn giải tích biến đổi rất lớn từ bài toán này sang bài toán khác, sự chuyển dịch sang ngôn ngữ của lý thuyết độ đo là như nhau trong mọi trường hợp và biểu thị một sự mở rộng của trường hợp do Borel và Steinhaus xử lý; vấn đề là xây dựng một độ đo trên $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, tích của một họ các độ đo đều đồng nhất với một độ đo dương riêng biệt $\mu$ có khối lượng 1 trên $\mathbf{R}$; chẳng hạn, các chuỗi Fourier ngẫu nhiên nói trên tương ứng với trường hợp trong đó $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$.

Để xây dựng các độ đo tích như vậy, có thể dùng hai phương pháp. Phương pháp thứ nhất là một phương pháp trực tiếp, được Daniell [76 b] thiết lập lần đầu vào năm 1918; nó lại xuất hiện năm 1934 trong công trình của Jessen [173], người sẽ nghiên cứu chi tiết trường hợp trong đó $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$.. Phương pháp thứ hai là tìm kiếm những mẹo tương tự với các mẹo của Steinhaus để rút gọn về trường hợp của độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$; cách tiến hành này có ưu điểm về sự thuận tiện chừng nào ta còn chưa có trong tay một trình bày đầy đủ của lý thuyết độ đo tổng quát, vì nó cho phép sử dụng các định lý của Lebesgue mà không cần những chứng minh mới.$^2$

LÝ THUYẾT CHUYỂN ĐỘNG BROWN.

Lý thuyết này chiếm một vị trí ngoại lệ trong sự phát triển khoa học đương thời vì sự trao đổi thường xuyên và phong phú mà nó làm chứng giữa các bài toán vật lý và toán học "thuần tuý". Việc nghiên cứu chuyển động Brown, được nhà thực vật học Brown phát hiện năm 1829, đã được nhiều nhà vật lý tiến hành một cách tích cực trong thế kỷ XIX,$^3$ nhưng mô hình toán học đầu tiên thoả đáng chỉ được Einstein xây dựng vào năm 1905. Trong trường hợp đơn giản của một hạt chuyển động dọc theo một đường thẳng, các giả-

$^1$ Về một trình bày của các chuỗi Fourier ngẫu nhiên, xem [176].

$^2$ Wiener cũng nhiều lần lưu ý (xem chẳng hạn [243], chap. IX) rằng độ đo của chuyển động Brown đẳng cấu với độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$. Khả năng có những mẹo như vậy được giải thích bởi một định lý tổng quát của von Neumann, trong đó ông đưa ra một sự đặc trưng hoá tiên đề của các độ đo đẳng cấu với độ đo Lebesgue trên $[0, 1]$.

$^3$ Có thể tìm thấy một trình bày rất sinh động về lịch sử này trong [229].

thuyết cơ bản của Einstein được phát biểu như sau: nếu $x(t)$ là hoành độ của hạt tại thời điểm $t$, và nếu $t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1} < t_n$, thì các độ dời liên tiếp $x(t_i) - x(t_{i-1})$ (với $1 \leq i \leq n$) là những biến ngẫu nhiên Gauss độc lập. Đây không phải là chỗ để gợi lại chi tiết công trình thực nghiệm quan trọng của J. Perrin, công trình đã thúc đẩy lý thuyết của Einstein: đối với mục đích của chúng ta, chỉ cần nhớ một nhận xét của Perrin, theo đó việc quan sát các quỹ đạo của chuyển động Brown đã gợi lên một cách không cưỡng lại được đối với ông “các hàm không có đạo hàm của các nhà toán học”. Nhận xét này là tia lửa ban đầu đối với Wiener.

Một dòng ý tưởng hoàn toàn khác bắt nguồn từ lý thuyết động học của chất khí, được Boltzmann và Gibbs phát triển trong khoảng từ 1870 đến 1900. Hãy xét một chất khí gồm $N$ phân tử có khối lượng $m$ ở nhiệt độ (tuyệt đối) $T$ và ký hiệu bởi $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_N$ các vận tốc của $N$ phân tử của chất khí; động năng của hệ bằng

trong đó $k$ là hằng Boltzmann. Theo các ý tưởng của Gibbs, vô số va chạm giữa các phân tử không cho phép xác định chính xác các vận tốc của các phân tử, và thuận tiện là đưa vào một luật xác suất $P$ trên mặt cầu $S$ của không gian có $3N$ chiều được xác định bởi phương trình (24.1). Giả thiết “vi chính tắc” hệ ở chỗ giả sử rằng $P$ là độ đo khối lượng 1 bất biến đối với phép quay trên mặt cầu $S$. Mặt khác, luật vận tốc của Maxwell phát biểu rằng luật xác suất của một thành phần của vận tốc của một phân tử là một độ đo Gauss có phương sai $2kT/m$. Có lẽ E. Borel là người đầu tiên nhận xét vào năm 1914 rằng luật Maxwell là một hệ quả của các giả thiết của Gibbs và của các tính chất của mặt cầu khi số phân tử là rất lớn. Ông xét một mặt cầu $S$ trong không gian Euclid có chiều lớn và độ đo $P$ khối lượng 1 bất biến đối với phép quay trên $S$; dùng các phương pháp xấp xỉ cổ điển dựa trên công thức Stirling, ông chứng minh rằng phép chiếu của $P$ lên một trục tọa độ xấp xỉ Gauss. Các kết quả này được Gâteaux và Lévy làm cho chính xác hơn ít lâu sau đó [201 a]. Với một số nguyên $m \geq 1$ và một số $r > 0$, ký hiệu $S_{m,r}$ là tập hợp các dãy có dạng $(x_1, \ldots, x_m, 0, 0, \ldots)$ với $x_1^2 + \ldots + x_m^2 = r^2$; cũng ký hiệu $\sigma_{m,r}$ là độ đo khối lượng 1 bất biến đối với phép quay trên $S_{m,r}$. Phát biểu bằng ngôn ngữ hiện đại, kết quả của Gâteaux và Lévy là như sau: dãy các độ đo $\sigma_{m,1}$ hội tụ chặt tới khối lượng đơn vị tại gốc $(0, 0, \ldots)$ và dãy các độ đo $\sigma_{m, \sqrt{m}}$ hội tụ chặt tới một độ đo $\Gamma$ có dạng

($\gamma$ là độ đo Gauss có phương sai 1 trên $\mathbf{R}$).

Độ đo $\Gamma$ ở trên đóng vai trò của một độ đo Gauss trong số chiều vô hạn. Có vẻ rất rõ rằng Lévy đã hy vọng, một cách còn mơ hồ, định nghĩa theo một cách nội tại một độ đo Gauss trên mọi không gian Hilbert vô hạn chiều. Thực ra, như Lévy và Wiener đã chỉ ra, độ đo $\Gamma$ là bất biến theo một nghĩa nào đó$^4$ dưới các tự đẳng cấu của $l^2$; tiếc thay, tập hợp $l^2$ các dãy bình phương khả tổng $(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots)$ có độ đo bằng không đối với $\Gamma$. Ngày nay người ta biết rằng phải bằng lòng với một tiền độ đo Gauss trên một không gian Hilbert vô hạn chiều.$^5$

Wiener được ghi công về bước tiến cốt yếu: nếu không có một độ đo Gauss thích đáng nào trên một không gian Hilbert vô hạn chiều, thì có thể xây dựng bằng phép toán nguyên thủy một độ đo $w$ trên một không gian các hàm liên tục, xuất phát từ một tiền độ đo Gauss. Chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt phép dựng ban đầu của $w$ theo Wiener [336]; nó chịu ảnh hưởng trực tiếp của quan hệ $\Gamma = \lim_{m \to \infty} \sigma_{m, \sqrt{m}}$ của Gâteaux và Lévy. Với mọi số nguyên $m \geq 1$, ký hiệu bởi $H_m$ tập hợp các hàm trên $T = ]0, 1]$ là hằng trên mỗi khoảng $]\frac{k-1}{m}, \frac{k}{m}]$ (với $k = 1, 2, \ldots, m$), và $\pi_m$ là độ đo khối lượng 1 bất biến qua phép quay trên mặt cầu Euclid bán kính 1 trong $\mathbf{R}^m$. Gọi $f_m$ là đẳng cấu từ $H_m$ lên $\mathbf{R}^m$ gán cho mỗi hàm nhận giá trị $a_k$ trên khoảng $]\frac{k-1}{m}, \frac{k}{m}]$ vectơ $(a_1, a_2 - a_1, \ldots, a_m - a_{m-1})$ (do đó có tên là "không gian vi phân" mà Wiener ưa dùng); ký hiệu bởi $w_m$ độ đo trên $H_m$ là ảnh của $\pi_m$ qua $f_m^{-1}$. Wiener định nghĩa độ đo $w$ cần tìm là giới hạn của các độ đo $w_m$. Chính xác, ký hiệu bởi $H$ tập hợp các hàm chính quy trên $T$, với tôpô hội tụ đều (ta có $H_m \subset H$ với mọi số nguyên $m \geq 1$); với mọi hàm liên tục đều $F$ bị chặn trên $H$, giới hạn $A\{F\} = \lim_{m \to \infty} \int_{H_m} F(x) dw_m(x)$ tồn tại; khi đó Wiener thu được một số đánh giá chặn trên nhờ một phép giải tích tinh tế về các dao động của các đối tượng đang xét, và, tiếp tục lại các lập luận về tính compact do Daniell nêu ra, ông chứng tỏ rằng ta ở trong một tình huống áp dụng được định lý mở rộng của Daniell. Do đó ta kết luận sự tồn tại của một độ đo $w$ mang bởi $C(T)$ và sao cho $A\{F\} = \int_{C(T)} F(x) dw(x)$. Khi đó Wiener có thể chứng tỏ rằng độ đo $w$ tương ứng với các giả thuyết của Einstein,$^6$ và các đánh giá của ông đã cho phép ông đưa ra một

$^4$ Chính xác, kết quả sau đây đúng. Gọi $U$ là một tự đẳng cấu của không gian Hilbert $l^2$ và $(u_{mn})$ là ma trận của $U$. Gọi $E$ là không gian vectơ của mọi dãy thực $(x_n)_{n \geq 1}$ và $F$ là không gian con của $E$ gồm các dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ mà với chúng chuỗi $\sum_{n \geq 1} u_{mn} x_n$ hội tụ với mọi $m \geq 1$. Công thức $(Ux)_m = \sum_{n \geq 1} u_{mn} x_n$ xác định một ánh xạ tuyến tính $\tilde{U}$ từ $F$ vào $E$, độ đo $\Gamma$ tập trung trên $F$ và ta có $\tilde{U}(\Gamma) = \Gamma$.

$^5$ Khái niệm này đã được đưa vào dưới tên gọi "phân bố chính tắc yếu" bởi I. Segal [281]. Tác giả này được ghi công về một nghiên cứu chi tiết các tiền độ đo Gauss, và ứng dụng của chúng vào một số bài toán của lý thuyết lượng tử của các trường.

$^6$ Điều này được dịch bởi công thức

ý nghĩa cho nhận xét của Perrin về các hàm không có đạo hàm: tập hợp các hàm thỏa mãn một điều kiện Lipschitz cấp $\frac{1}{2}$, là không đáng kể đối với $w$ (trái lại, với mọi $a$ sao cho $0 < a < \frac{1}{2}$, hầu như mọi hàm đều thỏa mãn một điều kiện Lipschitz cấp $a$).

Ngày nay ta biết nhiều phép dựng cho độ đo Wiener. Chẳng hạn, Paley và Wiener dùng các chuỗi Fourier ngẫu nhiên ([243], chap. IX): với mỗi dãy thực $a = (a_n)_{n \geq 1}$ và mỗi số nguyên $m \geq 0$, ta định nghĩa hàm $f_{m,a}$ trên $]0,1]$ bởi

có thể chứng minh rằng, với $\Gamma$-hầu hết mọi dãy $a$, dãy các hàm $f_{m,a}$ hội tụ đến một hàm liên tục $f_a$ và $w$ là ảnh của $\Gamma$ bởi ánh xạ (được định nghĩa hầu khắp nơi) $a \mapsto f_a$. Về sau, Lévy đã cho trong [201 b and c] một phép dựng khác. Cuối cùng, vào khoảng năm 1950, Kac, Donsker và Erdös chỉ ra cách thay thế trong phép dựng ban đầu của Wiener các độ đo cầu $\pi_m$ trên $\mathbf{R}^m$ bằng những độ đo tổng quát hơn. Các kết quả của họ thiết lập một mối liên hệ vững chắc giữa độ đo của Wiener và các định lý giới hạn của Lý thuyết Xác suất; chúng sẽ được Prokhorov [254] bổ sung và hệ thống hóa trong một công trình mà ta sẽ trở lại sau.

Đây không phải là chỗ để phân tích vô số công trình xác suất quan trọng do phát minh của Wiener gây ra; ngày nay, chuyển động Brown chỉ xuất hiện như một trong những ví dụ quan trọng nhất của một quá trình Markov. Ta chỉ nhắc đến ứng dụng mà Kac đã làm với độ đo Wiener vào việc giải một số phương trình đạo hàm riêng kiểu parabolic; ở đây là vấn đề thích nghi các ý tưởng của Feynman trong lý thuyết trường lượng tử — một ví dụ khác về ảnh hưởng qua lại này giữa toán học và các vấn đề của vật lý.

GIỚI HẠN XẠ ẢNH CỦA CÁC ĐỘ ĐO.

Đây là trường hợp của một lý thuyết đã được phát triển đặc biệt nhằm đáp ứng các nhu cầu của Lý thuyết Xác suất. Về nguyên lý, các bài toán liên quan đến một dãy hữu hạn các biến ngẫu nhiên $X_1, \ldots, X_n$ được giải khi luật $P_X$ của dãy này đã biết: đó là một độ đo dương có khối lượng 1 trên $\mathbf{R}^n$, sao cho xác suất để đồng thời có các bất đẳng thức $a_1 \leq X_1 \leq b_1, \ldots, a_n \leq X_n \leq b_n$ bằng $P_X(C)$, trong đó $C$ là hộp đóng $[a_1, b_1] \times \ldots \times [a_n, b_n]$ của $\mathbf{R}^n$.

(ta có quy ước rằng $x^0 = 0$). Wiener, được Hardy rèn luyện về tính chặt chẽ giải tích, và một cách chính đáng dè dặt đối với các nền tảng của Lý thuyết Xác suất vào thời đó, cẩn thận không dùng cả thuật ngữ lẫn các kết quả xác suất. Vì vậy các công trình của ông đầy những công thức ghê gớm mà công thức đứng trước là một mẫu; đặc điểm này là một trong những yếu tố đã làm chậm sự truyền bá các ý tưởng của Wiener.

Trong thực hành, độ đo $P_X$ có giá đỡ rời rạc hoặc chấp nhận một mật độ đối với độ đo Lebesgue. Khi là trường hợp của một dãy vô hạn $(X_n)_{n \geq 1}$ các biến ngẫu nhiên, thì luật $P_n$ của dãy từng phần $(X_1, \ldots, X_n)$ nói chung được biết với mọi số nguyên $n \geq 1$; các luật đã cho này thỏa mãn một điều kiện tương thích diễn đạt sự kiện rằng dãy $(P_n)_{n \geq 1}$ là một hệ xạ ảnh các độ đo. Cho đến khoảng năm 1920, người ta đã định nghĩa theo một cách ít nhiều hàm ẩn các xác suất của những biến cố gắn với dãy vô hạn bằng một sự chuyển qua giới hạn “tự nhiên” xuất phát từ các xác suất trong trường hợp hữu hạn; chẳng hạn, người ta sẽ giả thiết rằng xác suất để một cuộc chơi dừng lại là giới hạn, khi $n$ tiến ra vô hạn, của xác suất để nó dừng lại sau nhiều nhất $n$ bước. Đương nhiên, một lý thuyết như vậy hầu như không chặt chẽ, và không gì loại trừ sự hiện diện của các “nghịch lý”, khi cùng một xác suất nhận hai ước lượng phân biệt tùy theo việc nó được đánh giá bởi một hay bởi thủ tục kia, mỗi thủ tục đều “tự nhiên” như thủ tục kia.

Steinhaus [293] dường như là người đầu tiên cảm thấy sự cần thiết phải xét (trong trường hợp tung đồng xu) không chỉ hệ xạ ảnh $(P_n)_{n \geq 1}$ mà cả giới hạn của nó. Ít lâu trước đó, vào năm 1919, Daniell [76 d] đã chứng minh sự tồn tại của các giới hạn xạ ảnh như vậy trong trường hợp tổng quát,$^7$ nhưng kết quả này dường như vẫn không được biết đến ở châu Âu. Nó lại được tìm thấy năm 1933 bởi Kolmogoroff trong công trình [183], ở đó tác giả này phát biểu quan niệm tiên đề của Lý thuyết Xác suất. Các chứng minh của Daniell và Kolmogoroff dùng một lập luận compact dựa trên định lý Dini.

Định lý Daniell-Kolmogoroff không còn gì phải mong muốn trong trường hợp các dãy ngẫu nhiên $(X_n)_{n \geq 1}$, nhưng việc nghiên cứu các hàm ngẫu nhiên do Kolmogoroff, Feller và Doob tiến hành từ năm 1935 che giấu những khó khăn thuộc một cấp hoàn toàn khác. Chẳng hạn, hãy xét một khoảng $T$ của $\mathbf{R}$, biểu diễn tập hợp các thời điểm quan sát của một “quá trình ngẫu nhiên”; tập hợp các quỹ đạo khả dĩ là không gian tích $\mathbf{R}^T$, được xét như một giới hạn xạ ảnh của các tích từng phần $\mathbf{R}^H$, trong đó $H$ chạy qua tập hợp các tập con hữu hạn của $T$; nói chung ta thu được một hệ xạ ảnh các độ đo $(\mu_H)$. Định lý của Kolmogoroff quả thật cung cấp một độ đo trên $\mathbf{R}^T$, nhưng nó được định nghĩa trên một họ nhỏ hơn đáng kể so với họ Borel.$^8$ Một biến thể của phép dựng của Kolmogoroff, cung cấp một độ đo trên một không gian tôpô, là do Kakutani [177], và từ đó đến nay đã được tái phát hiện nhiều lần: ta xét $\mu_H$ như một độ đo trên $\overline{\mathbf{R}}^H$ được mang bởi $\mathbf{R}^H$;$^9$ không gian compact $E = \overline{\mathbf{R}}^T$ là một giới hạn xạ ảnh của các tích hữu hạn $\overline{\mathbf{R}}^H$ và một độ đo $\mu$ trên $E$ có thể được

$^7$ Daniell xét trường hợp các độ đo trên một tích $\prod_{n \geq 1} I_n$ của các khoảng compact của $\mathbf{R}$, nhưng phương pháp của ông mở rộng ngay lập tức sang trường hợp của một tích tùy ý các không gian compact.

$^8$ Độ đo của Kolmogoroff chỉ được xác định cho các tập Borel trong $\mathbf{R}^T$ có dạng $A \times \mathbf{R}^{T-D}$ trong đó $D$ là một tập con đếm được của $T$, và $A$ là một tập con Borel của $\mathbf{R}^D$; từ đó, định lý của Kolmogoroff đối với một tích tùy ý $\mathbf{R}^T$ là một hệ quả ngay lập tức của trường hợp các tích đếm được.

$^9$ Có thể thay thế $\overline{\mathbf{R}}$ bằng bất kỳ không gian compact nào chứa $\mathbf{R}$ như một không gian con trù mật.

được xác định như một giới hạn xạ ảnh của các $\mu_H$. Nhưng thủ tục này có một sự bất tiện nghiêm trọng; các phần tử của $\overline{\mathbf{R}}^T$ không có một tính chất chính quy nào cho phép tiếp tục việc nghiên cứu xác suất của quá trình đó - hoặc thậm chí chỉ đơn giản là loại bỏ các giá trị ký sinh $\pm \infty$ được đưa vào bởi phép compact hóa $\overline{\mathbf{R}}$ của $\mathbf{R}$. Có thể khắc phục điều đó bằng cách hạn chế độ đo $\mu$ của $\overline{\mathbf{R}}^T$ vào một không gian con riêng biệt (chẳng hạn $\mathscr{C}(T)$ trong trường hợp chuyển động Brown); khó khăn cơ bản xuất phát từ sự kiện rằng một không gian phiếm hàm, ngay cả thuộc kiểu thông thường, không nhất thiết là $\mu$-đo được trong $\overline{\mathbf{R}}^T$, và ngay cả việc lựa chọn không gian phiếm hàm cũng có thể là một vấn đề.$^{10}$

Một bước quyết định đã được Prokhorov thực hiện vào năm 1956 trong một công trình [254] có ảnh hưởng có tính quyết định đối với lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Bằng cách đặt dưới một dạng tiên đề thích hợp các phương pháp được Wiener sử dụng trong bài báo đã được phân tích ở trên, ông thiết lập một định lý tồn tại tổng quát cho các giới hạn xạ ảnh của các độ đo trên các không gian phiếm hàm.

Một lớp bị hạn chế hơn của các hệ xạ ảnh đã được Bochner [24 b] đưa vào năm 1947; đó là trường hợp các hệ xạ ảnh tạo thành từ các không gian vectơ thực số chiều hữu hạn và các ánh xạ tuyến tính toàn ánh. Giới hạn xạ ảnh của một hệ như thế được đồng nhất một cách tự nhiên với đối ngẫu đại số $E^*$ của một không gian vectơ thực $E$ được trang bị một tôpô yếu $\sigma(E^*, E)$; một hệ xạ ảnh tương ứng của các độ đo có một giới hạn là một độ đo $\mu$ được xác định trên một họ nhỏ hơn đáng kể so với họ Borel của $E^*$. Bochner đã đặc trưng hoàn toàn các "tiền độ đo" như thế bằng biến đổi Fourier của chúng, là một hàm trên $E$. Nhưng kết quả này hầu như không dùng được khi không có tôpô trên $E$, trong trường hợp đó cần phải khảo sát khả năng xem $\mu$ như một độ đo trên đối ngẫu tôpô $E'$ của $E$. Một cách độc lập, R. Fortet và E. Mourier, trong khi tìm cách tổng quát hóa cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong một không gian Banach một số kết quả cổ điển của Lý thuyết Xác suất (luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm), cũng đã làm nổi bật vai trò cơ bản do biến đổi Fourier giữ trong các vấn đề này. Nhưng chỉ đến năm 1956 mới có tiến bộ đáng kể, khi Gelfand [125 c] gợi ý rằng khuôn khổ tự nhiên cho biến đổi Fourier không phải là khuôn khổ của các không gian Banach hay các không gian Hilbert, mà là khuôn khổ của các không gian Fréchet hạt nhân. Ông phỏng đoán rằng mọi hàm liên tục kiểu dương trên một không gian như thế đều là biến đổi Fourier của một độ đo trên đối ngẫu của nó, một kết quả được Minlos [222] thiết lập ít lâu sau đó. Tầm quan trọng của nó trước hết là do sự kiện rằng nó áp dụng được cho các không gian phân phối, và rằng hầu như toàn bộ các không gian phiếm hàm đều là các không gian con Borel của không gian các phân phối (do đó không gian này tạo thành một khuôn khổ tốt hơn nhiều so với $\mathbf{R}^T$).$^{11}$ Lý thuyết các phân phối ngẫu nhiên là một lĩnh vực đang được khai triển mạnh, và chúng tôi sẽ bằng lòng dẫn người đọc đến công trình của Gelfand và Vilenkin [126].

$^{10}$ Để có một thảo luận chi tiết về bài toán dựng các độ đo cho các không gian phiếm hàm, và các phương pháp được dùng trước Prokhorov, xem J. L. Doob [93].

$^{11}$ Có thể tham khảo bản trình bày của X. Fernique [110], bản này cũng chứa nhiều kết quả về hội tụ ngặt.

24. TÍCH PHÂN TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÔNG COMPACT ĐỊA PHƯƠNG.

Các kết quả mà chúng tôi vừa nhắc tới về các giới hạn xạ ảnh dùng đến sự tồn tại của các tôpô trên các không gian cơ sở. Có thể hỏi liệu có tồn tại một lý thuyết tương tự trong trường hợp các độ đo "trừu tượng" hay không. Ngay từ năm 1935, von Neumann đã chứng minh sự tồn tại của các độ đo tích trong mọi trường hợp, nhưng việc phát hiện ra một phản ví dụ bởi Jessen và Andersen [290] đã phá tan hy vọng rằng mọi hệ xạ ảnh các độ đo đều thừa nhận một giới hạn. Người ta đã tìm ra hai biện pháp giảm nhẹ: năm 1949, C. Ionescu-Tulcea đã thiết lập sự tồn tại của các giới hạn xạ ảnh đếm được, với điều kiện có sự tồn tại của những phân tích thích hợp,$^{12}$ một kết quả rất lý thú cho việc nghiên cứu các quá trình Markov; ngoài ra, người ta đã thấy rõ rằng tôpô của các không gian chỉ can thiệp thông qua tập hợp các tập con compact. Do đó, việc tìm cách tiên đề hóa tình huống này bên trong một lý thuyết trừu tượng, bằng khái niệm một lớp compact các tập con của một tập hợp, là điều tự nhiên. Công việc này đã được Marczewski thực hiện năm 1953 (ông đã nhờ đó thiết lập một định lý về các giới hạn xạ ảnh trừu tượng) và Ryll-Nardzewski (ông làm việc về sự phân tích các độ đo).$^{13}$

CÁC ĐỘ ĐO TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT VÀ HỘI TỤ NGẶT.

Việc nghiên cứu các mối liên hệ giữa tôpô và lý thuyết đo lường trước hết được quan niệm đặc biệt như việc nghiên cứu các tính chất chính quy của các độ đo, và đặc biệt là tính chính quy "ngoài" và tính chính quy "trong";$^{14}$ tính chính quy trong là tương đương với tính chính quy ngoài trên một không gian compact địa phương đếm được ở vô cực. Phép dựng mà Lebesgue đưa ra cho độ đo của các tập hợp trên đường thẳng làm nổi bật hai kiểu chính quy này, và tính chất chính quy ngoài của các độ đo trên một không gian Polish dường như đã được biết đến công khai vào khoảng năm 1935. Nhưng chỉ đến năm 1940, trong một bài báo mà sự phổ biến bị chiến tranh làm chậm lại, A. D. Alexandroff [3] mới làm nổi bật vai trò của tính chính quy trong và chỉ ra rằng các độ đo trên một không gian Polish đều có tính chất ấy; kết quả này về sau lại được Prokhorov [254] tìm ra và thường bị quy một cách sai lầm cho tác giả này. Chỉ rất gần đây người ta mới thấy rằng tính chất này còn mở rộng được cho các không gian sousliniens; vì thế, tầm quan trọng của các không gian này đã tăng lên rất nhiều, nhất là khi người ta biết rằng lý thuyết của chúng

$^{12}$ Có vẻ như chính sự vắng mặt của một lý thuyết thích hợp về các phép phân rã là điều đánh dấu giới hạn của lý thuyết các độ đo "trừu tượng". Khó khăn này lại xuất hiện một cách dai dẳng trong Lý thuyết Xác suất liên quan đến các xác suất có điều kiện. $^{13}$ Để có một trình bày về lý thuyết này, có thể tham khảo [249]. $^{14}$ Một độ đo "trừu tượng" $\mu$ trên họ Borel của một không gian tôpô rời rạc được gọi là chính quy ngoài nếu độ đo của mọi tập Borel là cận dưới của các độ đo của những tập mở chứa nó; độ đo $\mu$ được gọi là chính quy trong nếu độ đo của mọi tập Borel là cận trên của độ đo các tập con compact của nó.

có thể được xây dựng mà không cần giả thiết khả mêtric, và rằng gần như toàn bộ các không gian phiếm hàm đều là sousliniens (và thậm chí thông thường còn là lusiniens).15

Việc định nghĩa một kiểu hội tụ (yếu hoặc ngặt) cho các độ đo được thực hiện một cách thuận tiện nhất bằng cách đặt đối ngẫu không gian các độ đo với một không gian các hàm liên tục. Tổng quát hóa một kết quả cổ của F. Riesz, A. A. Markhoff đã thiết lập năm 1938 một sự tương ứng song ánh giữa các phiếm hàm dương trên $C(X)$ và các độ đo chính quy trên một không gian compact $X$. Trong công trình [3] đã dẫn, A. D.. Alexandroff mở rộng các kết quả ấy cho trường hợp một không gian hoàn toàn chính quy: ông đưa vào một thứ bậc trên tập các dạng tuyến tính dương trên không gian $C^b(X)$ các hàm liên tục bị chặn trên một không gian hoàn toàn chính quy $X$,16 ông định nghĩa hội tụ ngặt của các độ đo bị chặn và chứng minh, trong số những điều khác, hai định lý sau:

a) nếu $X$ là Polish, tập các dạng tuyến tính trên $C^b(X)$ tương ứng với các độ đo là đóng đối với hội tụ yếu của các dãy;

b) nếu một dãy các độ đo bị chặn có một giới hạn ngặt, thì "không có khối lượng nào chạy ra vô cực" (đó là một dạng yếu của mệnh đề đảo của định lý hội tụ ngặt của Prokhorov).

Từ sự dung hợp các khái niệm và định lý này, Prokhorov đã biết rút ra những kết quả quan trọng cho lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, và trình bày chúng dưới một dạng đơn giản và nổi bật. Trong công trình lớn năm 1956 đã dẫn [254] của ông, một phần quan trọng được dành cho các độ đo dương bị chặn trên một không gian Polish; khi tổng quát hóa một phép dựng của Lévy, ông định nghĩa trên tập các độ đo dương có khối lượng 1 một khoảng cách biến tập ấy thành một không gian Polish, rồi ông thiết lập một tiêu chuẩn compact quan trọng cho hội tụ ngặt. Độc lập với Prokhorov, Le Cam [197] đã thu được một số kết quả compact đối với hội tụ ngặt của các độ đo; ông không đặt giả thiết khả mêtric nào trên các không gian mà ông xét, và các kết quả của ông quy về các định lý trước đó của Dieudonné trong trường hợp compact địa phương.

15 Để giải quyết một số khó khăn xác suất nào đó (đặc biệt là các mối liên hệ giữa những khái niệm khác nhau về tính độc lập hoặc phụ thuộc ngẫu nhiên) nhiều tác giả đã đưa vào những lớp hạn chế các độ đo "trừu tượng": các không gian "hoàn hảo" của Kolmogoroff-Gnedenko, các không gian "lusinian" của Blackwell, các không gian "Lebesgue" của Rokhlin. Thực ra (ít nhất là khi chấp nhận một giả thiết đếm được khá yếu), tất cả các định nghĩa này đều cho những đặc trưng của các độ đo "trừu tượng" đẳng cấu với một độ đo dương bị chặn trên một không gian souslinien. Có thể tham khảo [249] về vấn đề này.

16 Ông phân biệt, bằng một trật tự giảm về mức độ tổng quát, các $\sigma$-độ đo (các độ đo "trừu tượng" trên họ Borel của $X$), các $\tau$-độ đo (các độ đo chính quy ngoài) và các độ đo chặt (các độ đo chính quy trong). Khi $X$ là Polish, ba khái niệm này trùng nhau. Chính thuật ngữ này là do MacShane và Le Cam [197] đặt ra. Một trình bày về những công trình phát sinh từ sự phân loại này sẽ được tìm thấy trong [316].