23. Đo độ Haar. Tích chập.

Các khái niệm về độ dài, diện tích và thể tích của người Hy Lạp về cơ bản dựa trên tính bất biến của chúng đối với các phép dịch chuyển: "Những vật trùng nhau ($\varepsilon \phi \alpha \rho \mu o \xi o \nu \tau \alpha$) thì bằng nhau" (Eucl. El., Quyển I, "Các khái niệm chung" 4); và chính bằng việc sử dụng khéo léo nguyên lý này mà người ta thu được tất cả các công thức cho diện tích hoặc thể tích của các "hình" cổ điển (đa giác, đường conic, đa diện, mặt cầu, v.v.), đôi khi bằng một thủ tục phân tích hữu hạn, đôi khi bằng "phương pháp vét cạn".$^1$ Theo ngôn ngữ hiện đại, có thể nói rằng điều mà các nhà hình học Hy Lạp đã làm là chứng minh sự tồn tại của các "hàm của tập hợp" có tính cộng tính và bất biến đối với các phép dịch chuyển, nhưng chỉ được xác định cho các tập hợp thuộc một kiểu rất đặc biệt. Phép tính tích phân có thể được xem như đáp ứng nhu cầu mở rộng miền xác định của các hàm của tập hợp này, và, từ Cavalieri đến H. Lebesgue, chính mối quan tâm này sẽ đứng hàng đầu trong nghiên cứu của các nhà phân tích; còn đối với tính chất bất biến đối với các phép dịch chuyển, nó trở thành một sự xem xét thứ yếu, vì đã trở thành một hệ quả tầm thường của công thức tổng quát về sự thay đổi biến trong các tích phân kép hoặc ba lớp và do thực tế rằng một phép biến đổi trực giao có định thức bằng $\pm 1$. Ngay cả trong các hình học phi Euclid (trong đó nhóm các phép dịch chuyển tuy nhiên là khác), quan điểm vẫn giữ nguyên: nói chung, Riemann xác định các phần tử vi phân của diện tích hoặc thể tích (hoặc các phần tử tương tự của chúng đối với các chiều $\geq 3$) bắt đầu từ một $ds^2$ bằng các công thức Euclid cổ điển, và tính bất biến của chúng đối với các biến đổi giữ bất biến $ds^2$ do đó gần như là một phép đồng nhất hiển nhiên.

Chỉ vào khoảng năm 1890 thì các mở rộng khác, ít ngay lập tức hơn, của khái niệm độ đo bất biến dưới một nhóm mới xuất hiện, cùng với sự phát triển của lý thuyết các bất biến tích phân, đặc biệt nhờ H. Poincaré và E. Cartan;

$^1$ Có thể chứng minh rằng nếu hai đa giác $P, P'$ có cùng diện tích, thì tồn tại hai đa giác $R \supset P, R' \supset P'$ sao cho mỗi đa giác có thể được phân tích thành một số hữu hạn đa giác $R_i$ (tương ứng $R'_i$) ($1 \leq i \leq m$) không có điểm trong chung, sao cho $R_i$ và $R'_i$ có thể nhận được từ nhau bởi một phép dịch chuyển (phụ thuộc vào $i$), và sao cho $R$ (tương ứng $R'$) là hợp của một họ hữu hạn các đa giác $S_j$ (tương ứng $S'_j$) ($0 \leq j \leq n$) không có điểm trong chung, với $S_0 = P, S'_0 = P'$, và $S'_j$ nhận được từ $S_j$ bởi một phép dịch chuyển đối với $1 \leq j \leq n$. Mặt khác, M. Dehn đã chứng minh [81] rằng tính chất này không đúng đối với thể tích của các đa diện, và do đó các thủ tục vét cạn được sử dụng từ Eudoxus là không thể tránh khỏi.

H. Poincaré chỉ dự kiến các nhóm với một tham số hoạt động trên một phần của không gian, trong khi E. Cartan chủ yếu quan tâm đến các nhóm các phép dịch chuyển, nhưng hoạt động trong những không gian khác với những không gian mà chúng được định nghĩa. Chẳng hạn, ông xác định như vậy trong số những thứ khác ([52 a], v. II₁, pp. 265-302) độ đo bất biến (dưới một nhóm các phép dịch chuyển) trong không gian các đường thẳng trong $\mathbf{R}^2$ hoặc trong $\mathbf{R}^3$;$^2$ hơn nữa, ông chỉ ra rằng nói chung các bất biến tích phân đối với một nhóm Lie không gì khác hơn là các bất biến vi phân riêng biệt, và do đó có thể xác định tất cả chúng bằng các phương pháp của Lie. Tuy nhiên, dường như trước công trình cơ bản của A. Hurwitz năm 1897 [168] chưa có ai nghĩ đến việc xét hoặc sử dụng một độ đo bất biến trên chính nhóm đó. Khi tìm cách xây dựng các đa thức (trên $\mathbf{R}^n$) bất biến dưới nhóm trực giao, Hurwitz bắt đầu từ nhận xét rằng, đối với một nhóm hữu hạn các phép biến đổi tuyến tính, bài toán được giải quyết ngay lập tức bằng cách lấy trung bình của các biến đổi $s.P$ của một đa thức tùy ý $P$ bởi tất cả các phần tử $s$ của nhóm; điều này cho ông ý tưởng thay thế, đối với nhóm trực giao, trung bình bằng một tích phân đối với một độ đo bất biến; ông cho một cách tường minh biểu thức của độ đo sau này bằng biểu diễn tham số theo các góc Euler, nhưng nhận thấy ngay lập tức (độc lập với E. Cartan) rằng các phương pháp của Lie cung cấp sự tồn tại của một độ đo bất biến cho mọi nhóm Lie. Có lẽ vì sự suy tàn của lý thuyết các bất biến vào đầu thế kỷ XX, các ý tưởng của Hurwitz hầu như không có phản ứng ngay lập tức, và chỉ được xem là có giá trị sau năm 1924, với sự mở rộng sang các nhóm Lie compact, bởi I. Schur và H. Weyl, của lý thuyết cổ điển của Frobenius (p. 121) về các biểu diễn tuyến tính của các nhóm hữu hạn. Người thứ nhất chỉ giới hạn trong trường hợp nhóm trực giao, và chỉ ra phương pháp của Hurwitz cho phép mở rộng các quan hệ trực giao cổ điển của các ký tự; một ý tưởng mà H. Weyl kết hợp với công trình của E. Cartan về các đại số Lie nửa đơn để thu được biểu thức tường minh của các ký tự của các biểu diễn bất khả quy của các nhóm Lie compact và định lý phân tích đầy đủ [331 b], rồi, bằng một sự mở rộng táo bạo của khái niệm "biểu diễn chính quy", định lý nổi tiếng Peter-Weyl, một phép tương tự hoàn hảo của sự phân tích biểu diễn chính quy thành các thành phần bất khả quy của nó trong lý thuyết các nhóm hữu hạn [332].

Một năm trước đó, O. Schreier đã xây dựng lý thuyết tổng quát về các nhóm tôpô [276 a], và từ thời điểm đó rõ ràng rằng các lập luận của hồi ký Peter-Weyl sẽ vẫn có giá trị như vậy đối với mọi nhóm tôpô trên đó có thể xác định một "độ đo bất biến". Thực tế là, vào thời điểm này các khái niệm tổng quát về tôpô và độ đo vẫn đang trong quá trình hình thành đầy đủ, và cả phạm trù các nhóm tôpô mà người ta có thể hy vọng xác định một độ đo bất biến trên đó, lẫn các tập hợp mà "độ đo" này sẽ được xác định cho chúng, dường như đều chưa được phân định rõ ràng. Điểm duy nhất hiển nhiên là một

$^2$ Thước đo bất biến trên không gian các đường thẳng trong mặt phẳng về cơ bản đã được xác định trước đó trong mối liên hệ với các bài toán về "xác suất hình học", đặc biệt bởi Crofton, người mà công trình của ông E. Cartan có lẽ chưa biết vào thời điểm đó.

không thể hy vọng mở rộng các phương pháp vô cùng bé chứng minh sự tồn tại của một thước đo bất biến trên một nhóm Lie sang trường hợp tổng quát. Nhưng, một dòng tư tưởng khác, xuất phát từ công trình về thước đo Lebesgue, đã dẫn chính xác đến những phương pháp tấn công trực tiếp hơn. Hausdorff đã chứng minh vào năm 1914 rằng không tồn tại một hàm cộng tính trên các tập hợp không đồng nhất bằng không được xác định trên mọi tập con của $\mathbf{R}^3$ và bất biến qua các phép dịch chuyển, và khi đó tự nhiên là phải tìm hiểu xem kết quả này còn đúng đối với $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^2$ hay không: một bài toán đã được S. Banach giải quyết vào năm 1923 theo một cách đáng ngạc nhiên, bằng cách chứng minh ngược lại rằng trong hai trường hợp này một “thước đo” như vậy thực sự tồn tại [14 b]; phép dựng của ông, rất khéo léo, đã dựa ngay trên một phép dựng bằng quy nạp siêu hạn và trên việc xét các “trung bình” $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x + \alpha_k)$ của các hàm chuyển dịch bởi các phần tử của nhóm.$^3$ Chính những ý tưởng tương tự đã cho phép A. Haar, vào năm 1933 [139], thực hiện bước quyết định bằng cách chứng minh sự tồn tại của một thước đo bất biến cho các nhóm compact địa phương với một cơ sở đếm được của các tập mở: được truyền cảm hứng bởi phương pháp xấp xỉ một thể tích, trong phép tính nguyên cổ điển, bằng cách ghép các khối lập phương đồng dạng có cạnh tùy ý nhỏ, ông thu được, nhờ phép dựng đường chéo, thước đo bất biến như giới hạn của một dãy các “thước đo xấp xỉ”, một phương pháp mà ngày nay về cơ bản vẫn còn được sử dụng. Phát hiện này có tiếng vang rất lớn, đặc biệt vì nó cho phép J. von Neumann giải quyết ngay lập tức, đối với các nhóm compact, “bài toán thứ 5” nổi tiếng của Hilbert về sự đặc trưng của các nhóm Lie bằng các tính chất tôpô thuần túy (loại trừ mọi cấu trúc vi phân đã được cho trước). Nhưng người ta nhận thấy ngay lập tức rằng, để có thể sử dụng thước đo bất biến một cách hiệu quả, chỉ biết sự tồn tại của nó là không đủ, mà còn phải biết rằng nó là duy nhất đến một nhân tử; điểm này lần đầu tiên được J. von Neumann chứng minh cho các nhóm compact, bằng cách sử dụng một phương pháp định nghĩa thước đo Haar bằng các “trung bình” của các hàm liên tục, tương tự như những phương pháp của Banach [324 e]; sau đó J. von Neumann [324 f] và A. Weil [330 c], bằng các phương pháp khác nhau, đã đồng thời thu được tính duy nhất trong trường hợp các nhóm compact địa phương, A. Weil đồng thời chỉ ra cách thủ tục của Haar có thể được mở rộng cho các nhóm compact địa phương tổng quát. Cũng chính A. Weil (loc. cit.) là người đã thu được điều kiện cho sự tồn tại của một thước đo bất biến tương đối trên một không gian thuần nhất, và cuối cùng chỉ ra rằng sự tồn tại của một “thước đo” (được trang bị với các tính chất hợp lý) trên một nhóm tôpô tách được kéo theo ipso facto rằng nhóm đó là compact địa phương trước. Các công trình này về cơ bản đã hoàn thiện lý thuyết tổng quát về thước đo Haar; bổ sung gần đây hơn duy nhất cần được trích dẫn là khái niệm thước đo gần bất biến, hầu như chỉ xuất hiện vào khoảng năm 1950, gắn với lý thuyết biểu diễn của các nhóm compact địa phương trong các không gian Hilbert.

$^3$ J. von Neumann đã chỉ ra vào năm 1929 rằng lý do sâu xa của sự khác biệt trong cách hành xử giữa $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^2$ ở một phía, và $\mathbf{R}^n$ với $n \geq 3$ ở phía kia, phải được tìm thấy trong tính giao hoán của nhóm các phép quay trong không gian $\mathbf{R}^2$.

Lịch sử của tích chập phức tạp hơn. Ngay từ đầu thế kỷ XIX, người ta đã nhận thấy rằng nếu chẳng hạn, $F(x, t)$ là một tích phân của một phương trình vi phân riêng phần theo $x$ và $t$, tuyến tính và với các hệ số hằng, thì

cũng là một tích phân của cùng phương trình đó; Poisson, trong số những người khác, ngay trước năm 1820, đã sử dụng ý tưởng này để viết các tích phân của phương trình nhiệt dưới dạng

Một thời gian ngắn sau, biểu thức

đối với tổng riêng phần của một chuỗi Fourier và việc nghiên cứu, do Dirichlet thực hiện, về giới hạn của tích phân này khi $n$ tiến tới $+\infty$, đã cho ví dụ đầu tiên về sự "chính quy hóa" $f \mapsto \rho_n * f$ trên xuyến $T$ (thực ra là bởi một dãy các "hạt nhân" không dương $\rho_n$, điều này làm phức tạp đáng kể việc nghiên cứu nó); dưới tên gọi "các tích phân kỳ dị", các biểu thức tích phân tương tự sẽ là một chủ đề ưa thích của các nhà phân tích vào cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, từ P. du Bois-Reymond đến H. Lebesgue. Trên $\mathbf{R}$, Weierstrass sử dụng tích phân (23.1) để chứng minh định lý của ông về xấp xỉ bằng các đa thức, và trong mối liên hệ này đưa ra nguyên lý tổng quát của sự chính quy hóa bởi một dãy các "hạt nhân" dương $\rho_n$ có dạng $x \mapsto c_n \rho(nx)$. Trên $T$, ví dụ nổi tiếng nhất về một sự chính quy hóa bởi các hạt nhân dương được Fejér đưa ra một thời gian ngắn sau đó, và kể từ thời điểm ấy, nó là thủ tục chuẩn làm cơ sở cho phần lớn các "phương pháp lấy tổng" của các chuỗi hàm.

Tuy nhiên, công trình này, do sự thiếu đối xứng trong vai trò của "hạt nhân" và hàm được chính quy hóa, hầu như không làm nổi bật các tính chất đại số của tích chập. Đặc biệt chính Volterra là người đã nhấn mạnh điểm này. Ông nghiên cứu một cách tổng quát "hợp thành" $F * G$ của hai hàm của hai biến

mà ông xem như một sự tổng quát hóa, bằng cách "chuyển từ hữu hạn sang vô hạn", của tích hai ma trận [322 a]. Ông phân biệt rất sớm trường hợp ("của chu trình đóng" được gọi như vậy vì cách giải thích của nó trong lý thuyết di truyền) trong đó $F$ và $G$ chỉ phụ thuộc vào $y - x$; khi đó cũng vậy với $H = F * G$, và nếu đặt $F(x, y) = f(y - x), G(x, y) = g(y - x)$, ta có

Trong khi đó, hình thức luận đại số do Volterra phát triển đã không làm nổi bật các mối liên hệ với cấu trúc nhóm của $\mathbf{R}$ và biến đổi Fourier. Ở đây chúng ta không cần viết lịch sử của biến đổi sau; nhưng cần lưu ý rằng kể từ Cauchy, các nhà giải tích nghiên cứu tích phân Fourier chủ yếu quan tâm đến việc tìm ra những điều kiện ngày càng rộng hơn cho tính đúng đắn của các công thức "nghịch đảo" khác nhau, và phần nào xem nhẹ các tính chất đại số của nó. Chắc chắn không thể nói như vậy về công trình của chính Fourier (hoặc của Laplace về tích phân tương tự $\int_0^{+\infty} e^{-st}f(t)dt$); nhưng các biến đổi này đã được đưa vào chủ yếu liên quan đến các bài toán tuyến tính, và vì vậy không có gì đáng ngạc nhiên lắm khi trong một thời gian dài người ta đã không thấy đáng xem xét tích của hai biến đổi Fourier (ngoại trừ các tích của chuỗi lượng giác hoặc của chuỗi nguyên, nhưng mối liên hệ với phép chập của các độ đo rời rạc hiển nhiên không thể được nhận thấy vào thế kỷ XIX). Lần đầu tiên đề cập đến tích này và phép chập trên $\mathbf{R}$ có lẽ được tìm thấy trong một hồi ký của Tchebychef [306], liên quan đến các câu hỏi về phép tính xác suất. Thật vậy, trong lý thuyết này, phép chập $\mu * \nu$ của hai "luật xác suất" trên $\mathbf{R}$ (các độ đo dương có khối lượng toàn phần bằng 1) không gì khác hơn là luật xác suất "tích" của $\mu$ và $\nu$ (đối với tổng của các "biến ngẫu nhiên" tương ứng). Dĩ nhiên, với Tchebychef, vẫn chỉ là vấn đề về phép chập của các luật xác suất có mật độ (đối với độ đo Lebesgue), do đó là phép chập của các hàm; ngoài ra nó chỉ xuất hiện ở ông theo cách không thường xuyên, và cũng sẽ như vậy trong một vài công trình hiếm hoi trong đó nó xuất hiện trước giai đoạn 1920-1930. Năm 1920, P.-J. Daniell, trong một chú ý hiếm khi được tham khảo [76 c], định nghĩa phép chập của hai độ đo tùy ý trên $\mathbf{R}$ và biến đổi Fourier của một độ đo như vậy, và nhận xét tường minh rằng biến đổi Fourier đưa phép chập thành tích thông thường; một hình thức luận mà từ năm 1925 trở đi sẽ được các nhà xác suất sử dụng rộng rãi, đặc biệt theo P. Lévy. Nhưng tầm quan trọng cơ bản của phép chập trong lý thuyết nhóm chỉ được H. Weyl nhận ra đầy đủ vào năm 1927; ông nhận thấy rằng, đối với một nhóm compact, phép chập của các hàm đóng vai trò của phép nhân trong đại số nhóm của một nhóm hữu hạn, và cho phép ông do đó định nghĩa "biểu diễn chính quy"; đồng thời, ông tìm thấy trong phép chính quy hóa phần tử tương đương với phần tử đơn vị của đại số của một nhóm hữu hạn. Còn lại là thực hiện sự tổng hợp của tất cả các quan điểm này, điều được hoàn thành trong cuốn sách của A. Weil [330 c], một sự mở đầu cho những tổng quát hóa tiếp theo sẽ cấu thành, một mặt là các đại số chuẩn của I. Gelfand, và mặt khác là phép chập của các phân phối.

Độ đo Haar và phép chập đã nhanh chóng trở thành những công cụ cốt yếu trong xu hướng đại số hóa, vốn phân biệt rất mạnh Giải tích hiện đại; chúng ta sẽ phải đề cập đến nhiều ứng dụng của nó trong các chú ý tiếp theo. Ở đây chúng ta sẽ chỉ giới hạn trong việc chỉ ra một ứng dụng liên quan đến "sự biến thiên" của các nhóm con đóng (và đặc biệt là các nhóm con rời rạc) của một nhóm compact địa phương. Lý thuyết này, bắt đầu từ một kết quả của K. Mahler trong Hình học số, đã được khởi xướng vào năm 1950 bởi C. Chabauty, và vừa được Macbeath và Swierczkowski [212] phát triển và đào sâu đáng kể.