22. Tích phân trong các không gian địa phương compact.

Sự phát triển của khái niệm hiện đại về tích phân gắn bó chặt chẽ với sự tiến hóa của khái niệm hàm, và với việc nghiên cứu sâu các hàm số của biến thực, đã diễn ra từ đầu thế kỷ XIX: Người ta biết rằng Euler đã hình dung khái niệm hàm theo một cách khá tổng quát, vì đối với ông, một đường cong “tùy ý” đã cho, bị mỗi đường song song với trục $Oy$ cắt tại một điểm duy nhất, xác định một hàm $y = f(x)$ (xem p. 196); nhưng, cũng như phần lớn những người cùng thời, ông không chấp nhận rằng những hàm như vậy có thể được biểu diễn một cách “giải tích”. Quan điểm này hầu như không thay đổi cho đến công trình của Fourier; nhưng phát hiện của Fourier về khả năng biểu diễn các hàm gián đoạn thành tổng các chuỗi lượng giác,$^1$ đã có ảnh hưởng quyết định đến các thế hệ sau. Nói cho đúng, các chứng minh của Fourier hoàn toàn thiếu tính chặt chẽ, và miền hiệu lực của chúng không xuất hiện một cách rõ ràng; tuy nhiên các công thức tích phân

cho các hệ số trong khai triển của $\phi$ thành một chuỗi Fourier, có một ý nghĩa hiển nhiên về mặt trực giác ngay khi giả thiết $\phi$ liên tục và đơn điệu từng đoạn.$^2$ Ban đầu, Dirichlet cũng chỉ giới hạn mình vào những hàm này, trong hồi ký nổi tiếng ([92], v. I, tr. 117-132), nơi ông đã thiết lập sự hội tụ của các chuỗi Fourier; nhưng ngay ở cuối công trình của mình, ông đã quan tâm đến việc mở rộng các kết quả của mình cho những lớp hàm rộng hơn. Người ta biết rằng chính trong dịp này, Dirichlet, làm cho các ý tưởng của Fourier trở nên chính xác, đã định nghĩa khái niệm tổng quát về hàm theo cách mà ngày nay chúng ta hiểu; điểm đầu tiên cần làm sáng tỏ đương nhiên là phải biết trong những trường hợp nào vẫn có thể gán một ý nghĩa cho các công thức (22.1). “Khi số các nghiệm của tính liên tục [của $\phi$] là vô hạn ...”, Dirichlet nói (loc. cit., tr. 131-132), “thì cần rằng hàm $\phi(x)$ phải sao cho, nếu ký hiệu $a$ và $b$ là hai đại lượng tùy ý giữa $-\pi$ và $+\pi$, thì luôn có thể đặt giữa $a$ và $b$ những đại lượng khác $r$ và $s$ đủ gần nhau để hàm vẫn liên tục trong khoảng từ $r$ đến $s$. Sự cần thiết của hạn chế này sẽ được cảm nhận khi xét rằng các số hạng khác nhau của chuỗi [Fourier] là các tích phân xác định và khi quay trở lại khái niệm cơ bản về tích phân. Khi đó sẽ thấy rằng tích phân của một hàm không có ý nghĩa gì trừ khi hàm thỏa mãn điều kiện đã nêu ở trên.”

$^1$ Đây cũng không phải là một trường hợp “phát hiện” theo nghĩa hoàn toàn tương đối: Euler đã biết các khai triển thành chuỗi lượng giác của những hàm không tuần hoàn như $x$ hoặc $x^2$, và các công thức (22.1) đã có trong một công trình của Clairvaux từ năm 1754 và trong một hồi ký của Euler năm 1777. Nhưng trong khi thế kỷ XVIII, do thiếu một quan niệm rõ ràng về ý nghĩa của một khai triển thành chuỗi, đã bỏ qua những kết quả như vậy và giữ nguyên niềm tin rằng không thể thu được những khai triển như vậy đối với các hàm “gián đoạn”, thì Fourier, trái lại, tuyên bố rằng những khai triển này hội tụ bất kể đường cong đã cho tương ứng với $\phi(x)$ là đường cong nào, dù nó có thể được xác định bởi một phương trình giải tích, hay không phụ thuộc vào bất kỳ luật chính quy nào ([112], v.I, p. 210).

$^2$ Đối với Fourier, tích phân vẫn được định nghĩa bằng cách viện dẫn khái niệm diện tích; định nghĩa giải tích của tích phân, xin nhắc lại, chỉ xuất hiện với Cauchy (xem p. 197).

Người ta biết rằng chính trong dịp này, Dirichlet, làm cho các ý tưởng của Fourier trở nên chính xác, đã định nghĩa khái niệm tổng quát về hàm theo cách mà ngày nay chúng ta hiểu; điểm đầu tiên cần làm sáng tỏ đương nhiên là phải biết trong những trường hợp nào vẫn có thể gán một ý nghĩa cho các công thức (22.1). “Khi số các nghiệm của tính liên tục [của $\phi$] là vô hạn ...”, Dirichlet nói (loc. cit., tr. 131-132), “thì cần rằng hàm $\phi(x)$ phải sao cho, nếu ký hiệu $a$ và $b$ là hai đại lượng tùy ý giữa $-\pi$ và $+\pi$, thì luôn có thể đặt giữa $a$ và $b$ những đại lượng khác $r$ và $s$ đủ gần nhau để hàm vẫn liên tục trong khoảng từ $r$ đến $s$. Sự cần thiết của hạn chế này sẽ được cảm nhận khi xét rằng các số hạng khác nhau của chuỗi [Fourier] là các tích phân xác định và khi quay trở lại khái niệm cơ bản về tích phân. Khi đó sẽ thấy rằng tích phân của một hàm không có ý nghĩa gì trừ khi hàm thỏa mãn điều kiện đã nêu ở trên.”

Theo thuật ngữ hiện đại, Dirichlet dường như tin rằng khả tích tương đương với việc các điểm gián đoạn tạo thành một tập thưa; ông còn chỉ ra, vài dòng sau, ví dụ nổi tiếng về hàm bằng $c$ khi $x$ hữu tỉ, và bằng một giá trị khác $d$ khi $x$ vô tỉ, và khẳng định rằng không thể “thay hàm này vào” tích phân. Ông còn công bố công trình tiếp theo về chủ đề này, nhưng công trình đó không bao giờ được xuất bản,$^3$ và trong 25 năm, dường như không ai tìm cách tiến thêm theo hướng này, có lẽ vì khi đó việc xét những hàm “bệnh lý” như vậy dường như hoàn toàn không có gì đáng quan tâm; dù thế nào đi nữa, khi Riemann, năm 1854 ([259 a], tr. 227-264), trở lại với vấn đề này (luôn gắn với các chuỗi lượng giác$^4$), ông cảm thấy cần phải biện minh cho công trình của mình: “Dù sự hiểu biết của chúng ta về cách thức các lực và các trạng thái của vật chất biến thiên theo thời gian và vị trí ở mức vô cùng bé có hạn chế đến đâu, chúng ta vẫn có thể coi là chắc chắn rằng các hàm mà những nghiên cứu của Dirichlet không áp dụng được không xuất hiện trong các hiện tượng tự nhiên. Tuy nhiên”, ông tiếp tục, “dường như những trường hợp không được Dirichlet xét đến này đáng được chú ý vì hai lý do. Thứ nhất, như chính Dirichlet nhận xét ở cuối công trình của mình, chủ đề này có quan hệ rất chặt chẽ với các nguyên lý của phép tính vi phân vô hạn bé, và có thể giúp đem lại sự rõ ràng và chắc chắn hơn cho các nguyên lý ấy. Từ quan điểm này, nghiên cứu của ông có một lợi ích ngay lập tức. Thứ hai, việc áp dụng các chuỗi Fourier không chỉ giới hạn trong nghiên cứu vật lý; hiện nay chúng còn được áp dụng thành công trong một lĩnh vực của toán học thuần túy, lý thuyết số, và ở đó dường như chính những hàm mà khai triển của chúng thành lượng giác

$^3$ Theo một số chỉ dấu (khá mơ hồ) của Lipschitz [205 a], Dirichlet có thể đã tin rằng nếu tập hợp các điểm gián đoạn là thưa, thì “đạo hàm” là hữu hạn, và trong mọi trường hợp đã giới hạn các nghiên cứu của mình vào trường hợp này.

$^4$ Từ Dirichlet và Riemann cho đến thời đại chúng ta, ta sẽ thấy mối liên hệ chặt chẽ này giữa phép lấy tích phân và cái mà ngày nay ta gọi là "giải tích điều hòa" được tiếp tục theo đuổi, và điều đó cung cấp theo một nghĩa nào đó một tiêu chuẩn.

chuỗi chưa được Dirichlet nghiên cứu, lại có tầm quan trọng" ([259 a], pp. 237-238).

Ý tưởng của Riemann là bắt đầu từ thủ tục xấp xỉ đối với tích phân, được Cauchy đưa trở lại vị trí đúng đắn, và xác định khi nào "các tổng Riemann" của một hàm $f$, trên một khoảng bị chặn $[a, b]$, tiến tới một giới hạn (độ dài cực đại của các khoảng trong phép chia tiến tới 0); một bài toán mà ông dễ dàng thu được nghiệm dưới dạng sau: với mọi $\alpha > 0$, tồn tại một phép chia $[a, b]$ thành các khoảng con có độ dài cực đại đủ nhỏ sao cho tổng độ dài của các khoảng của phép chia này, tại đó dao động của $f$ là $> \alpha$, nhỏ tùy ý. Ông cũng chỉ ra rằng điều kiện này được thỏa mãn không chỉ đối với các hàm liên tục và đơn điệu từng khúc, mà còn đối với các hàm có thể có một tập điểm gián đoạn trù mật khắp nơi.$^5$

Hồi ký của Riemann mãi đến sau khi ông qua đời, vào năm 1867, mới được công bố. Nhưng vào thời điểm này, thời thế đã thuận lợi hơn cho loại nghiên cứu này, và "tích phân Riemann" tự nhiên chiếm vị trí của mình trong dòng tư tưởng lúc đó đang dẫn tới một nghiên cứu có hệ thống về "liên tục" và về các hàm của biến thực (Weierstrass, Du Bois-Reymond, Hankel, Dini), và rồi, với Cantor, dẫn đến sự nở rộ của lý thuyết tập hợp. Dạng mà Riemann đưa ra cho điều kiện khả tích đã gợi ra ý tưởng về "độ đo" của tập các điểm gián đoạn của một hàm trên một khoảng; nhưng phải gần 30 năm sau mới có một định nghĩa hữu hiệu và thuận tiện về khái niệm này.

Những cố gắng đầu tiên theo hướng này là của Stolz, Harnack và Cantor (1884-1885); hai người đầu, để định nghĩa "độ đo" của một tập con bị chặn $E$ của $\mathbf{R}$, xét các tập $F \supset E$ là hợp hữu hạn của các khoảng, lấy với mỗi $F$ tổng độ dài của các khoảng tương ứng, và nói rằng "độ đo" của $E$ là cận dưới của các số này; trong khi đó Cantor, ngay từ đầu làm việc trong không gian $\mathbf{R}^n$, xét với một tập bị chặn $E$ và với $\rho > 0$ lân cận $V(\rho)$ của $E$ được tạo bởi các điểm mà khoảng cách từ chúng đến $E$ là $\leq \rho$, và lấy cận dưới của "thể tích" của $V(\rho)$.$^6$ Với định nghĩa này, "độ đo" của một tập bằng độ đo của bao đóng của nó, do đó đặc biệt có thể xảy ra rằng "độ đo" của hợp của hai tập không có điểm chung lại nhỏ hơn nghiêm ngặt tổng các "độ đo" của hai tập ấy. Hẳn nhằm làm giảm bớt khó khăn cuối cùng này, vài năm sau, Peano [246 a] và Jordan ([174 c], v. I, pp. 28-31) đưa vào, bên cạnh "độ đo" Cantor $\mu(A)$ của một tập $A$ được chứa trong một khối $I$, "độ đo trong" $\mu(I) - \mu(I - A)$ của nó, và gọi là "đo được" những tập $A$ (nay

$^5$ Mặt khác, ngay từ năm 1875, H. J. Smith đã đưa ra ví dụ đầu tiên về một hàm không khả tích theo nghĩa của Riemann, và tập các điểm gián đoạn của nó là thưa ([287], v. II, pp. 86-100).

$^6$ Cantor không đưa ra một định nghĩa chính xác về "thể tích" này mà chỉ nói rằng nó có thể được tính bằng một tích phân bội ([47], pp. 229-236 và 257-258). Dễ thấy rằng định nghĩa của ông tương đương với định nghĩa của Stolz-Harnack, nhờ áp dụng định lý Borel-Lebesgue.

gọi là "quarriable") mà hai số này trùng nhau. Hợp của hai tập quarriable $A, B$ không có điểm chung khi đó là quarriable và có "độ đo" bằng tổng các "độ đo" của $A$ và $B$; nhưng một tập mở bị chặn không nhất thiết là quarriable, và tập các số hữu tỉ được chứa trong một khoảng bị chặn cũng vậy, điều này làm mất phần lớn sự hấp dẫn của khái niệm Peano-Jordan.

Công lao trong việc nhận ra những khiếm khuyết của các định nghĩa trước đây và thấy được cách có thể khắc phục chúng thuộc về E. Borel [32 a]. Từ Cantor, người ta đã biết rằng mọi tập mở $U$ trong $\mathbf{R}$ là hợp của một họ đếm được các "thành phần" của nó, là các khoảng mở rời nhau từng đôi một; thay vì tìm cách xấp xỉ $U$ "từ bên ngoài" bằng cách bao nó trong một dãy hữu hạn các khoảng, Borel, dựa vào kết quả trước đó, đề nghị lấy làm độ đo của $U$ (khi $U$ bị chặn) tổng độ dài các thành phần của nó. Sau đó, ông mô tả rất sơ lược$^7$ lớp các tập (cũng gọi là "Borel") có thể thu được, bắt đầu từ các tập mở, bằng cách lặp vô hạn các phép toán hợp đếm được và "hiệu" $A - B$, và chỉ ra rằng, đối với các tập này, có thể định nghĩa một độ đo có tính chất cơ bản là tính cộng đầy đủ: nếu một dãy $(A_n)$ gồm các tập Borel rời nhau từng đôi một, thì độ đo của hợp của chúng (giả sử bị chặn) bằng tổng các độ đo của chúng.

Định nghĩa này đã mở ra một thời đại mới trong Giải tích: một mặt, song hành với công trình đương thời của Baire, nó trở thành điểm xuất phát cho cả một chuỗi các nghiên cứu mang tính chất tôpô về sự phân loại các tập điểm (xem p. 165); và trên hết, nó được dùng làm cơ sở cho việc mở rộng khái niệm tích phân, do Lebesgue sáng tạo trong những năm đầu của thế kỷ XX.

Trong luận án của mình [196 a], Lebesgue bắt đầu bằng việc làm chính xác và phát triển những chỉ dẫn súc tích của E. Borel; mô phỏng phương pháp của Peano-Jordan, "độ đo ngoài" của một tập bị chặn $A \subset \mathbf{R}$ được định nghĩa là cận dưới của các độ đo của những tập mở chứa $A$; sau đó, nếu $I$ là một khoảng chứa $A$, thì "độ đo trong" của $A$ là hiệu giữa độ đo ngoài của $I$ và của $I - A$; từ đó thu được khái niệm về một "tập hợp đo được", chỉ khác với định nghĩa "kiến thiết" ban đầu của Borel ở phép nối thêm một tập con của một tập hợp có độ đo không theo nghĩa của Borel. Định nghĩa này ngay lập tức mở rộng sang các không gian $\mathbf{R}^n$; quan niệm cũ về tích phân xác định $\int_a^b f(t) dt$ của một hàm bị chặn $\geq 0$ như "diện tích" giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, các đường thẳng $x = a, x = b$ và $y = 0$, do đó cung cấp một mở rộng ngay lập tức của tích phân Riemann cho mọi hàm $f$ mà độ đo của tập hợp nói trên được xác định. Nhưng tính độc đáo của

$^7$ Đối với Borel, vào thời đó, độ đo vẫn không là gì khác ngoài một phương tiện kỹ thuật để nghiên cứu một số chuỗi các hàm hữu tỉ, và chính ông nhấn mạnh rằng, đối với mục đích mà ông đặt ra cho mình, tính hữu ích của độ đo trước hết là do sự kiện rằng một tập hợp có độ đo khác không thì không đếm được ([32 a], p. 48).

Lebesgue không đặt trọng tâm nhiều đến ý tưởng về sự mở rộng này,$^8$ mà vào việc ông phát hiện ra định lý cơ bản về phép chuyển qua giới hạn trong tích phân được quan niệm như vậy, một định lý xuất hiện trong công trình của ông như một hệ quả của tính cộng hoàn toàn của độ đo;$^9$ ông ngay lập tức nhận ra toàn bộ tầm quan trọng của nó, và biến nó thành hòn đá tảng của phần trình bày có tính chất sư phạm về lý thuyết của mình mà ông đưa ra, ngay từ năm 1904, trong tác phẩm nổi tiếng "Các bài học về tích phân và việc tìm các hàm nguyên hàm" [196 c].$^{10}$

Chúng ta không thể mô tả ở đây một cách chi tiết vô số bước tiến mà các kết quả của Lebesgue đã đem lại trong việc nghiên cứu các bài toán cổ điển của phép tính vi phân vô cùng bé. Chính Lebesgue, ngay trong luận án của mình, đã áp dụng lý thuyết của ông vào việc mở rộng các khái niệm cổ điển về độ dài và diện tích cho những tập hợp tổng quát hơn các đường cong và mặt thông thường; về sự phát triển đáng kể của lý thuyết này trong hơn nửa thế kỷ, chúng tôi dẫn người đọc đến công trình trình bày gần đây của L. Cesari [59]. Cũng xin nhắc đến các áp dụng vào chuỗi lượng giác, được Lebesgue phát triển gần như ngay lập tức sau luận án của ông [196 b], và những áp dụng này đã mở ra những chân trời mới cho lý thuyết này, mà việc khám phá vẫn còn lâu mới kết thúc trong thời đại chúng ta (xem [345]). Cuối cùng và đặc biệt, định nghĩa các không gian $L^p$ và định lý Fischer-Riesz ([111], [260 a and c]; cf. p. 213) đã làm nổi bật vai trò mà khái niệm mới về tích phân có thể đảm nhận trong Giải tích hàm; một vai trò chỉ có thể ngày càng lớn cùng với những tổng quát hóa tiếp theo của khái niệm này, mà chúng ta sẽ nói đến ngay sau đây.

Trước hết, chúng ta sẽ dừng lại lâu hơn một chút ở một trong những vấn đề mà Lebesgue đã dành nhiều công sức nhất, đó là mối liên hệ giữa các khái niệm tích phân và nguyên hàm. Với sự tổng quát hóa tích phân do Riemann đưa vào, câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên là liệu sự tương ứng cổ điển giữa tích phân và nguyên hàm, đúng đối với các hàm liên tục, có còn tồn tại trong trường hợp tổng quát hơn hay không. Nhưng thật dễ dàng đưa ra các ví dụ về những hàm $f$, khả tích theo nghĩa Riemann, sao cho $\int_a^x f(t)dt$ không có đạo hàm (thậm chí không có đạo hàm phải hay đạo hàm trái) tại một số điểm;

$^8$ Độc lập với Lebesgue, W. H. Young đã có cùng ý tưởng đối với các hàm nửa liên tục [339 a].

$^9$ Trường hợp riêng của định lý này, trong đó ta có một dãy các hàm khả tích trên một khoảng compact theo nghĩa Riemann, bị chặn đều, và giới hạn của chúng khả tích theo nghĩa Riemann, đã được Arzelà chứng minh [9 a].

$^{10}$ Trong số những hệ quả quan trọng nhất của định lý này trong lý thuyết tổng quát về tích phân, cần đặc biệt kể đến định lý Egoroff về sự hội tụ của các dãy hàm đo được [99], làm chính xác hơn những nhận xét trước đó của Borel và Lebesgue. Mặt khác, các hàm đo được (số) trước hết đã được Lebesgue định nghĩa bằng tính chất rằng, đối với một hàm $f$ như vậy, ảnh ngược bởi $f$ của mọi khoảng của $\mathbf{R}$ là một tập hợp đo được. Nhưng từ năm 1903, Borel và Lebesgue đã chú ý đến các tính chất tôpô của những hàm này; chúng được đưa về dạng cuối cùng bởi Vitali, người, vào năm 1905 [320 a], là người đầu tiên phát biểu tính chất của các hàm đo được thường được biết dưới tên "định lý Lusin" (người đã tìm lại nó vào năm 1912).

Ngược lại, Volterra đã chỉ ra, vào năm 1881, rằng một hàm $F(x)$ có thể có đạo hàm bị chặn trên một khoảng $I$, nhưng lại không khả tích (theo nghĩa Riemann) trên $I$. Bằng một phép phân tích hết sức tinh tế (trong đó định lý về phép chuyển qua giới hạn trong tích phân còn lâu mới đủ), Lebesgue đã chứng minh rằng, nếu $f$ khả tích (theo nghĩa của ông) trên $[a, b]$, thì $F(x) = \int_a^x f(t)dt$ có đạo hàm bằng $f(x)$ hầu khắp nơi [196 c]. Ngược lại, nếu một hàm $g$ khả vi trên $[a, b]$ và đạo hàm $g' = f$ của nó là bị chặn, thì $f$ khả tích và ta có công thức $g(x) - g(a) = \int_a^x f(t)dt$. Nhưng Lebesgue nhận xét rằng bài toán phức tạp hơn nhiều khi $g'$ không bị chặn; trong trường hợp này $g'$ không nhất thiết khả tích, và do đó bài toán đầu tiên là đặc trưng các hàm liên tục $g$ mà $g'$ tồn tại hầu khắp nơi và khả tích. Giới hạn vào trường hợp một trong các số dẫn xuất$^{11}$ của $g$ ở mọi nơi là hữu hạn, Lebesgue đã chứng minh rằng $g$ tất nhiên là một hàm có biến thiên bị chặn.$^{12}$ Cuối cùng ông thiết lập đảo lại của kết quả sau cùng này: một hàm có biến thiên bị chặn $g$ có đạo hàm hầu khắp nơi, và $g'$ khả tích; nhưng không còn nhất thiết đúng rằng

hiệu giữa hai vế của quan hệ này là một hàm có biến thiên bị chặn, không hằng và có đạo hàm bằng không hầu khắp nơi (một hàm "suy biến"). Vẫn còn phải đặc trưng các hàm có biến thiên bị chặn $g$ sao cho quan hệ (22.2) đúng. Lebesgue đã chứng minh rằng các hàm này (được Vitali gọi là "liên tục tuyệt đối", người đã nghiên cứu chúng một cách chi tiết) là những hàm có tính chất sau: biến thiên toàn phần của $g$ trên một tập mở $U$ (tổng các biến thiên toàn phần của $g$ trên mỗi thành phần liên thông của $U$) tiến tới 0 cùng với độ đo của $U$.

Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng, dưới một dạng yếu hơn, các kết quả này về sau sẽ có phạm vi áp dụng tổng quát hơn nhiều. Ở dạng ban đầu, lĩnh vực áp dụng của chúng vẫn khá hạn chế, và không vượt ra ngoài khuôn khổ lý thuyết "tinh tế" về các hàm của một biến thực, mà sự phát triển tiếp theo của nó chúng ta sẽ không nghiên cứu ở đây; chúng ta chỉ nhắc đến công trình sâu sắc của Denjoy và những người theo ông cùng những người kế tục ông (Perron, de la Vallée-Poussin, Khintchine, Lusin, Banach, v.v. ); độc giả sẽ tìm thấy một trình bày chi tiết trong cuốn sách của S. Saks [268].

$^{11}$ Các số dẫn xuất bên phải của $g$ tại một điểm $x$ là hai giới hạn $\lim_{h \to 0} \sup_{h > 0} (g(x + h) - g(x))/h, \lim_{h \to 0} \inf_{h > 0} (g(x + h) - g(x))/h$. Các số dẫn xuất bên trái được định nghĩa tương tự.

$^{12}$ Các hàm này đã được Jordan đưa vào, liên quan đến phép chỉnh độ dài của các đường cong [174 c]; ông đã chỉ ra rằng có thể đưa ra hai định nghĩa tương đương như sau: a) $f$ là hiệu của hai hàm tăng; b) đối với mọi phép chia khoảng $[a, b]$ bởi một dãy hữu hạn các điểm tăng $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$, với $a = x_0, b = x_n$, tổng $\sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|$ bị chặn bởi một số không phụ thuộc vào phép chia đang xét. Cận trên của các tổng này là biến thiên toàn phần của $f$ trên $[a, b]$.

Một trong những tiến bộ cốt yếu do lý thuyết Lebesgue mang lại liên quan đến các tích phân bội. Khái niệm này được đưa vào khoảng giữa thế kỷ XVIII, và trước hết dưới dạng một "tích phân bất định" (theo phép tương tự với lý thuyết tích phân của các hàm một biến, $\int \int f(x, y) dx dy$ ký hiệu một nghiệm của phương trình $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f(x, y)$); nhưng ngay từ năm 1770, Euler đã có một quan niệm rất rõ ràng về tích phân kép mở rộng trên một miền bị chặn (được giới hạn bởi các cung của các đường cong giải tích), và đã viết đúng công thức tính tích phân như vậy bằng hai tích phân đơn liên tiếp ([108 a], (1), v. XVII, pp. 289–315). Không khó để biện minh cho công thức này, xuất phát từ "các tổng Riemann", chừng nào hàm được lấy tích phân còn liên tục và miền lấy tích phân không quá phức tạp; nhưng ngay khi muốn xét những trường hợp tổng quát hơn, phương pháp của Riemann gặp phải những khó khăn nghiêm trọng ($f(x, y)$ có thể khả tích theo nghĩa Riemann, nhưng $\int dx \int f(x, y) dy$ lại không có nghĩa khi các tích phân đơn được lấy theo nghĩa Riemann). Những khó khăn này biến mất khi ta chuyển sang định nghĩa của Lebesgue; ngay trong luận án của mình, ông đã chỉ ra rằng, khi $f(x, y)$ là một "hàm Baire" bị chặn, điều tương tự đúng đối với các hàm $y \mapsto f(x, y)$ (với mọi $x$) và $x \mapsto \int f(x, y) dy$, và ta có công thức

(tích phân được lấy trên hình chữ nhật). Một thời gian ngắn sau, Fubini [121] đã bổ sung quan trọng cho kết quả này bằng cách chứng minh rằng, nếu chỉ giả thiết $f$ khả tích, thì tập hợp các $x$ sao cho $y \mapsto f(x, y)$ không khả tích có độ đo bằng không, nhờ đó cho phép mở rộng công thức (22.3) sang trường hợp này.

Cuối cùng, vào năm 1910 [157 e], Lebesgue nghiên cứu việc mở rộng các kết quả của mình về các đạo hàm của các tích phân đơn sang các tích phân bội. Do đó, ông đi đến việc gắn với một hàm $f$, khả tích trên mọi tập con compact của $\mathbf{R}^n$, hàm của một tập hợp $F(E) = \int_E f(x) dx$, được định nghĩa với mọi tập con $E$ khả tích của $\mathbf{R}^n$, tổng quát hóa khái niệm “tích phân bất định”; và nhân dịp này ông nhận thấy rằng hàm này có hai tính chất sau: $1^\circ$ nó cộng tính hoàn toàn; $2^\circ$ nó “liên tục tuyệt đối” theo nghĩa $F(E)$ tiến tới 0 cùng với độ đo của $E$. Phần cốt yếu của hồi ký của Lebesgue là chứng minh đảo lại của mệnh đề này.$^{13}$ Nhưng ông không dừng lại ở đó, và theo cùng hướng ấy, ông chỉ ra khả năng tổng quát hóa khái niệm hàm có biến thiên bị chặn, bằng cách xét các hàm của một tập hợp đo được $F(E)$, cộng tính hoàn toàn và sao cho $\sum_n |F(E_n)|$ bị chặn đối với mọi phân hoạch đếm được của $E$ thành các tập con đo được $E_n$. Và, nếu trên thực tế ông tự giới hạn ở việc chỉ xét các hàm như vậy trên tập hợp các khối của $\mathbf{R}^n$, thì rõ ràng chỉ còn một bước nữa để đi đến khái niệm tổng quát về độ đo mà J. Radon sắp

$^{13}$ Công cụ chính trong chứng minh này là một định lý phủ, được Vitali chứng minh trước đó một thời gian [320 b], và từ đó vẫn giữ vai trò nền tảng trong kiểu bài toán này.

định nghĩa vào năm 1913, tập hợp trong cùng một tổng hợp tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes, mà bây giờ chúng ta phải nói đến.

Năm 1894, T. Stieltjes công bố, dưới nhan đề "Nghiên cứu về các phân thức liên tục" [297], một hồi ký rất độc đáo, trong đó, xuất phát từ một câu hỏi có vẻ ngoài rất hạn chế, người ta tìm thấy những bài toán có bản chất hoàn toàn mới trong lý thuyết các hàm giải tích và trong lý thuyết các hàm của một biến thực, được phát biểu và giải quyết với một sự thanh nhã hiếm có.$^{14}$ Để biểu diễn giới hạn của một dãy nào đó các hàm giải tích, Stieltjes, trong số những điều khác, đã đi đến việc đưa vào trên đường thẳng khái niệm một “phân bố khối lượng” dương, một khái niệm từ lâu đã quen thuộc trong các khoa học vật lý, nhưng cho đến lúc đó chưa từng được xét đến trong toán học nếu không có các giả thiết hạn chế (nói chung, sự tồn tại của một “mật độ” tại mọi điểm, biến thiên một cách liên tục); ông nhận xét rằng cho một phân bố như vậy tương đương với việc cho một hàm tăng $\phi(x)$, hàm này cho tổng khối lượng chứa trong khoảng có hai đầu mút 0 và $x$ khi $x > 0$, và khối lượng này đổi dấu khi $x < 0$, các điểm gián đoạn của $\phi$ tương ứng với các khối lượng “tập trung tại một điểm”.$^{15}$ Stieltjes khi đó lập, đối với một phân bố khối lượng như vậy trong một khoảng $[a, b]$, các “tổng Riemann” $\sum_i f(\xi_i)(\phi(x_{i+1}) - \phi(x_i))$ và chứng minh rằng, khi $f$ liên tục trên $[a, b]$, các tổng này tiến tới một giới hạn mà ông ký hiệu là $\int_a^b f(x)d\phi(x)$. Vì chỉ cần tích phân các hàm liên tục (và thậm chí các hàm khả vi), Stieltjes đã không tiến xa hơn trong việc nghiên cứu tích phân này$^{16}$ và trong khoảng mười năm, khái niệm này dường như không thu hút được sự chú ý.$^{17}$ Nhưng vào năm 1909, F. Riesz [260 d], khi giải một bài toán được Hadamard nêu ra vài năm trước đó (xem p. 213), đã chứng minh rằng các tích phân Stieltjes $f \mapsto \int_a^b fd\phi$ là các phiếm hàm tuyến tính liên tục tổng quát nhất trên không gian $C(I)$ của các hàm số liên tục trên $I = [a, b]$ ($C(I)$ được trang bị tôpô hội tụ đều$^{18}$); và sự thanh nhã cùng tính đơn giản của kết quả này đã gần như ngay lập tức dẫn đến một số tổng quát hóa của

$^{14}$ Chính tại đó, trong số những điều khác, “bài toán mômen” nổi tiếng được phát biểu và giải quyết (xem p. 215). $^{15}$ Stieltjes vẫn chưa phân biệt giữa các kiểu khoảng khác nhau có cùng hai đầu mút $a, b$, điều này khiến ông quan niệm rằng tại các điểm gián đoạn $c$ của $\phi$, một phần khối lượng tập trung tại $c$ thuộc về khoảng có đầu mút $c$, còn phần kia thuộc về khoảng có cuối $c$, tùy theo giá trị của $\phi(c)$. $^{16}$ Tuy nhiên, cần ghi nhận ở đây, với Stieltjes, sự xuất hiện đầu tiên của ý tưởng về “hội tụ” của một dãy các độ đo ([297], p. 95; thực ra đây là một trường hợp của giới hạn mạnh). $^{17}$ Tuy nhiên, khái niệm này trở nên quan trọng cùng với sự phát triển của lý thuyết phổ của các toán tử bởi Hilbert và trường phái của ông, bắt đầu từ năm 1906. Chính trong dịp này, vào khoảng năm 1907, Hellinger đã định nghĩa các tích phân như tích phân mà ông ký hiệu $\int \frac{(dg)^2}{df}$, thoạt đầu có vẻ tổng quát hơn các tích phân của Stieltjes; nhưng trên thực tế, Hahn đã chỉ ra ngay từ năm 1912 rằng chúng rút gọn về loại tích phân sau. $^{18}$ Cũng chính trong công trình này, khái niệm giới hạn yếu của một dãy các độ đo xuất hiện ([260 d], p. 49).

nó. Thành công nhất là công trình của J. Radon, năm 1913 [256]: kết hợp các ý tưởng của F. Riesz và của Lebesgue, ông đã chỉ ra cách định nghĩa một tích phân theo các phương pháp của Lebesgue, bắt đầu từ một “hàm hoàn toàn cộng tính của một tập hợp” tùy ý (được định nghĩa trên các tập hợp đo được đối với độ đo Lebesgue) thay vì bắt đầu từ độ đo Lebesgue. Trong khái niệm “độ đo Radon” trên $\mathbf{R}^n$, được định nghĩa như vậy, khái niệm hàm có “biến thiên bị chặn” được thấy là đã được bao hàm: phân tích một hàm như vậy thành hiệu của hai hàm tăng là một trường hợp riêng của phân tích một độ đo thành hiệu của hai độ đo dương; tương tự, “độ đo có cơ sở $\mu$” tương ứng với khái niệm một hàm “tuyệt đối liên tục”, và phân tích một độ đo tùy ý thành một độ đo có cơ sở $\mu$ và một độ đo xa lạ đối với $\mu$, tương ứng với phân tích Lebesgue của một hàm có biến thiên bị chặn thành tổng của một hàm tuyệt đối liên tục và một hàm “suy biến”. Đồng thời, Radon còn chỉ ra rằng “mật độ” đối với $\mu$ của một độ đo có cơ sở $\mu$ vẫn tồn tại khi $\mu$ là một độ đo có cơ sở là độ đo Lebesgue, bằng cách sử dụng một ý tưởng trước đó của F. Riesz (sau này được J. von Neumann và những người khác tiếp thu và phổ biến), bao gồm việc xây dựng một ảnh của độ đo $\mu$ qua một ánh xạ $\theta$ từ $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{R}$, được chọn sao cho $\theta(\mu)$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$.

Gần như ngay lập tức sau khi hồi ký của Radon xuất hiện, Fréchet nhận xét rằng hầu hết các kết quả của công trình này có thể được mở rộng sang trường hợp trong đó các “hàm hoàn toàn cộng tính của một tập hợp”, thay vì được định nghĩa trên các tập hợp đo được của $\mathbf{R}^n$, được định nghĩa trên một số tập con của một tập hợp tùy ý $E$ (các tập con này được chọn sao cho các phép lấy hợp đếm được và phép “hiệu” vẫn cho các tập hợp mà trên đó hàm được định nghĩa). Tuy nhiên, biểu diễn một độ đo có cơ sở $\mu$ dưới dạng $g.\mu$, trong công trình của Lebesgue và Radon, dựa vào các lập luận sử dụng một cách cốt yếu tôpô của $\mathbf{R}^n$ (và ta đã thấy rằng chứng minh của Radon chỉ áp dụng nếu $\mu$ là một độ đo có cơ sở là độ đo Lebesgue); mãi đến năm 1930 O. Nikodym [235] mới thu được định lý này dưới dạng tổng quát, bằng một lập luận trực tiếp (được đơn giản hóa đáng kể vài năm sau bởi J. von Neumann, nhờ sử dụng các tính chất của các không gian $L^2$ ([324 g], pp. 127-130)).

Với hồi ký của Radon, lý thuyết tổng quát về tích phân có thể được xem là đã hoàn chỉnh trên những nét chính; về những thành tựu đáng kể tiếp theo, chỉ có thể kể đến định nghĩa tích vô hạn của các độ đo, do Daniell [76 b] đưa ra, và định nghĩa tích phân của một hàm nhận giá trị trong một không gian Banach, do Bochner đưa ra năm 1933 [24 a], mở đầu cho việc nghiên cứu tổng quát hơn về “tích phân yếu” được phát triển vài năm sau bởi Gelfand [125 a], Dunford và Pettis ([95] và [96]). Nhưng vẫn còn phải phổ biến lý thuyết mới và biến nó thành một công cụ toán học được sử dụng rộng rãi, trong khi phần lớn các nhà toán học, vào khoảng năm 1910, vẫn chỉ xem “tích phân Lebesgue” là một công cụ có độ chính xác cao, khó sử dụng, chỉ dành cho những nghiên cứu hết sức tinh tế và hết sức trừu tượng. Đó là công trình của Carathéodory, trong một cuốn sách đã giữ vị trí kinh điển trong một thời gian dài [49] và làm phong phú lý thuyết của Radon bằng nhiều nhận xét độc đáo.

Nhưng cũng chính với cuốn sách này, khái niệm tích phân, vốn đứng ở hàng đầu trong những mối quan tâm của Lebesgue (như đã được thể hiện đầy đủ qua tiêu đề luận án của ông [196 a] và công trình chính của ông về những vấn đề này [196 c]), lần đầu tiên nhường chỗ cho khái niệm độ đo, vốn đối với Lebesgue (cũng như trước ông đối với Jordan) chỉ là một phương tiện kỹ thuật phụ trợ. Sự thay đổi quan điểm này chắc hẳn là do, ở Carathéodory, tầm quan trọng quá mức mà ông dường như đã gán cho “các độ đo $p$-chiều”.$^{19}$ Kể từ đó, các tác giả nghiên cứu tích phân được chia thành hai quan điểm này, không phải không kéo theo những cuộc tranh luận đã làm chảy rất nhiều mực, nếu không muốn nói là rất nhiều máu. Một nhóm đi theo Carathéodory; trong các bài trình bày ngày càng trừu tượng và ngày càng tiên đề hóa của họ, độ đo, với tất cả những tinh chỉnh kỹ thuật mà nó cho phép, không chỉ đóng vai trò chi phối, mà còn có xu hướng mất liên hệ với các cấu trúc tôpô mà trên thực tế nó gắn liền trong phần lớn các bài toán có liên quan đến nó. Các bài trình bày khác ít nhiều đi theo một phương pháp đã được W. H. Young chỉ ra từ năm 1911, trong một hồi ký đáng tiếc là ít được chú ý [339 b], và sau đó được Daniell phát triển. Phương pháp đầu tiên, khi xử lý tích phân Lebesgue, tách khỏi “tích phân Cauchy” của các hàm liên tục có giá compact, được giả định là đã biết, để lần lượt định nghĩa tích phân trên của các hàm nửa liên tục dưới, rồi của các hàm số tùy ý, do đó thu được định nghĩa các hàm khả tích, mô phỏng theo định nghĩa của Lebesgue đối với các tập hợp, bằng những phương tiện thuần túy “phiếm hàm”. Daniell, năm 1918 ([76 a]; cf. [207]), đã mở rộng bài trình bày này, với một vài biến thể, sang các hàm được định nghĩa trên một tập hợp tùy ý; trong cùng dòng ý tưởng (và có liên hệ chặt chẽ với các phương pháp được sử dụng trong lý thuyết phổ trước Gelfand), cũng cần nêu hồi ký của F. Riesz [260 h], trong đó trình bày dưới một dạng thanh nhã và cô đọng một vài kết quả của lý thuyết các không gian có thứ tự đóng vai trò trong lý thuyết Tích phân.

Không phải ở các công trình trình bày, ít nhiều dễ đọc, nhưng nội dung cơ bản của chúng khó có thể thay đổi nhiều, mà cần tìm kiếm những tiến bộ xuất phát từ lý thuyết Tích phân kể từ năm 1920, mà ở phía các ứng dụng: lý thuyết xác suất (vốn trước kia là cái cớ cho những phỏng đoán và nghịch lý, và đã trở thành một nhánh của lý thuyết Tích phân kể từ khi nó

$^{19}$ Đây là một trường hợp tổng quát hóa “độ dài của một đường cong phẳng” cho các giá trị tùy ý n và p của chiều của không gian bao quanh và của chiều của không gian đang được xét; dĩ nhiên giả sử rằng ta có $0 \leq p \leq n$, nhưng không phải lúc nào cũng giả sử rằng p là một số nguyên. Vấn đề này đã là đối tượng nghiên cứu của nhiều tác giả kể từ Minkowski, Carathéodory và Hausdorff; bản thân Lebesgue, người đã xử lý một số trường hợp riêng trong luận án của mình, dường như không thấy ở đó gì khác ngoài một cơ hội để thử nghiệm sức mạnh của các công cụ mà ông vừa chế tạo.

sự tiên đề hóa của Kolmogoroff [183], mà là một ngành độc lập với các phương pháp và vấn đề riêng); lý thuyết ergodic; lý thuyết phổ và giải tích điều hòa, kể từ khi Haar phát hiện ra độ đo mang tên ông, cùng với sự vận động của các ý tưởng do phát hiện này khơi mào, đã khiến tích phân trở thành một trong những công cụ quan trọng nhất trong lý thuyết nhóm.