21. Không gian vectơ tôpô.

Lý thuyết tổng quát về các không gian vectơ tôpô được xây dựng trong khoảng thời gian xấp xỉ từ 1920 đến 1930. Nhưng từ lâu trước đó, nó đã được chuẩn bị bởi việc nghiên cứu nhiều bài toán của Giải tích phiếm hàm; và không thể thuật lại lịch sử của nó mà không chỉ ra, ít nhất một cách vắn tắt, việc nghiên cứu các bài toán ấy đã dần dần đưa các nhà toán học (đặc biệt từ đầu thế kỷ XX) đến chỗ nhận thấy nguồn gốc chung của các vấn đề đang được xét, cũng như khả năng phát biểu chúng theo một cách tổng quát hơn nhiều và áp dụng cho chúng những phương pháp giải thống nhất.

Có thể nói rằng những phép tương tự giữa Đại số và Giải tích, cũng như ý tưởng xem các phương trình phiếm hàm (nghĩa là những phương trình trong đó ẩn số là một hàm) như những "trường hợp giới hạn" của các phương trình đại số, có từ buổi đầu của phép tính vi tích phân, vốn theo một nghĩa nào đó đáp ứng nhu cầu tổng quát hóa "từ hữu hạn đến vô hạn". Nhưng tiền thân đại số trực tiếp của phép tính vi tích phân là phép tính sai phân hữu hạn (x. pp. 185 ff.), chứ không phải việc giải các hệ tuyến tính tổng quát; và phải đến giữa thế kỷ XVIII thì những phép tương tự đầu tiên giữa lĩnh vực sau này và các bài toán của phép tính vi phân mới xuất hiện, liên quan đến phương trình dây dao động. Ở đây chúng tôi sẽ không đi vào chi tiết lịch sử của bài toán này; nhưng cần ghi nhận sự xuất hiện của hai ý tưởng cơ bản, mà ta sẽ luôn luôn gặp lại trong phần sau, và cả hai dường như đều là của D. Bernoulli. Ý tưởng thứ nhất là xem dao động của dây như một "trường hợp giới hạn" của dao động của một hệ gồm $n$ khối lượng điểm, khi $n$ tiến ra vô hạn; ta đã biết rằng, với $n$ hữu hạn, bài toán này ít lâu sau đã cho ví dụ đầu tiên về việc tìm các giá trị riêng của một ánh xạ tuyến tính (x. p. 88); với các số ấy tương ứng, trong "sự chuyển sang giới hạn" đang xét, là các tần số của các "dao động riêng" của dây, đã được quan sát bằng thực nghiệm từ rất lâu trước đó, và sự tồn tại về mặt lý thuyết của chúng đã được thiết lập (đặc biệt bởi Taylor) vào đầu thế kỷ. Phép tương tự hình thức này, tuy khá ít khi được nhắc đến về sau ([302 b], p. 390), dường như chưa bao giờ bị bỏ khỏi tầm mắt trong suốt thế kỷ XIX; nhưng, như ta sẽ thấy sau này, nó chỉ đạt được đầy đủ tầm quan trọng của mình vào khoảng 1890-1900.

Ý tưởng kia của D. Bernoulli (có lẽ được gợi ra từ các sự kiện thực nghiệm) là "nguyên lý chồng chất", theo đó dao động tổng quát nhất của dây phải có thể được "phân tích" thành sự chồng chất của các "dao động riêng"; điều này, nói theo ngôn ngữ toán học, có nghĩa là nghiệm tổng quát của phương trình dây dao động phải có thể khai triển thành một chuỗi $\sum_n c_n \phi_n(x,t)$, trong đó các $\phi_n(x,t)$ biểu diễn các dao động riêng. Ta biết rằng nguyên lý này đã làm bùng nổ một cuộc tranh luận kéo dài về khả năng khai triển một hàm "tùy ý" thành một chuỗi lượng giác, cuộc tranh luận chỉ được giải quyết nhờ công trình của Fourier và Dirichlet trong phần ba đầu của thế kỷ XIX. Nhưng ngay cả trước khi đạt được kết quả này, người ta đã gặp những ví dụ khác về khai triển theo chuỗi các hàm "trực giao"$^1$: các hàm cầu và các đa thức Legendre, cũng như các hệ khác nhau dạng $(e^{i \lambda_n x})$, trong đó các $\lambda_n$ không còn là các bội của cùng một số nữa, và đã được đưa vào từ thế kỷ XVIII trong các bài toán dao động, cũng như bởi Fourier và Poisson trong các nghiên cứu của họ về lý thuyết nhiệt. Khoảng năm 1830, tất cả các hiện tượng được nhận thấy trong các trường hợp riêng khác nhau ấy được Sturm [302 a and b] và Liouville [204 a and b] hệ thống hóa trong một lý thuyết tổng quát về dao động, đối với các hàm của một biến: họ xét phương trình vi phân

với các điều kiện biên

và chứng minh các kết quả cơ bản sau đây:

1) bài toán chỉ có một nghiệm $\neq 0$ khi $\lambda$ nhận một trong các giá trị của một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$, tiến tới $+\infty$; 2) với mỗi $\lambda_n$, các nghiệm là những bội của cùng một hàm $v_n$, có thể giả sử được "chuẩn hóa" bởi điều kiện $\int_a^b \rho v_n^2 dx = 1$, và ta có $\int_a^b \rho v_m v_n dx = 0$ nếu $m \neq n$; 3) mọi hàm $f$, khả vi hai lần trên $[a, b]$, và thỏa mãn các điều kiện biên (21.2), đều có thể khai triển thành một chuỗi hội tụ đều $f(x) = \sum_n c_n v_n(x)$, trong đó $c_n = \int_a^b \rho f v_n dx$; 4) ta có đẳng thức $\int_a^b \rho f^2 dx = \sum_n c_n^2$ (đã được Parseval chứng minh từ năm 1799 - hơn nữa, theo một cách thuần túy hình thức - cho hệ các hàm lượng giác, và từ đó ngay lập tức suy ra "bất đẳng thức Bessel" do chính ông phát biểu (vẫn đối với các chuỗi lượng giác) vào năm 1828).

Nửa thế kỷ sau, các tính chất này được bổ sung bởi công trình của Gram [133], người, tiếp theo các nghiên cứu của Tchebychef, làm sáng tỏ quan hệ giữa các khai triển theo chuỗi các hàm trực giao và bài toán

$^1$ Tuy nhiên thuật ngữ này không xuất hiện trước các công trình của Hilbert.

về "xấp xỉ bậc hai tốt nhất" (xuất phát trực tiếp từ "phương pháp bình phương tối thiểu" của Gauss, trong lý thuyết sai số): cách sau này, với một dãy hữu hạn các hàm $(\psi_i)_{1 \leq i \leq n}$ đã cho, gồm việc tìm, đối với một hàm $f$, tổ hợp tuyến tính $\sum_i a_i \psi_i$ sao cho tích phân $\int_a^b \rho(f - \sum_i a_i \psi_i)^2 dx$ đạt giá trị nhỏ nhất. Về nguyên lý, ở đây chỉ là một trường hợp của một bài toán đại số tuyến tính cơ bản, nhưng Gram giải nó theo một cách độc đáo, bằng cách áp dụng cho các $\psi_i$ quá trình "trực chuẩn hóa" nói chung được biết dưới tên Erhard Schmidt. Sau đó chuyển sang trường hợp một hệ trực giao vô hạn $(\phi_n)$, ông tự đặt cho mình câu hỏi biết khi nào "xấp xỉ bậc hai tốt nhất" $\mu_n$ của một hàm $f$ bởi các tổ hợp tuyến tính của $n$ hàm đầu tiên của dãy tiến tới 0 khi $n$ tiến tới vô hạn;$^2$ do đó ông được dẫn tới việc định nghĩa khái niệm hệ trực chuẩn đầy đủ, và nhận ra rằng tính chất này tương đương với sự không tồn tại của các hàm $\neq 0$ trực giao với mọi $\phi_n$. Ông thậm chí còn tìm cách làm sáng tỏ khái niệm "hội tụ bậc hai trung bình", nhưng, trước khi đưa vào các khái niệm cơ bản của lý thuyết độ đo, ông hầu như không thể thu được kết quả nào thật cụ thể theo hướng này.

Trong nửa sau của thế kỷ XIX, nỗ lực chủ yếu của các nhà giải tích chủ yếu hướng tới việc mở rộng lý thuyết Sturm-Liouville cho các hàm nhiều biến, mà đặc biệt là việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng kiểu elliptic của Vật lý toán đã dẫn tới, cùng với các bài toán biên gắn liền với chúng một cách tự nhiên. Sự quan tâm chủ yếu tập trung vào phương trình "màng rung"

trong đó người ta tìm các nghiệm bằng không trên biên đối với một miền $G$ khá chính quy; và chỉ từng chút một những khó khăn giải tích đáng kể mà bài toán này đặt ra mới được vượt qua, một bài toán mà người ta không nghĩ là có thể áp dụng các phương pháp đã thành công cho các hàm của một biến. Hãy nhắc lại những giai đoạn chính đi đến lời giải: việc đưa vào "hàm Green" của $G$, mà Schwarz đã chứng minh sự tồn tại; chứng minh, cũng do Schwarz, về sự tồn tại của trị riêng nhỏ nhất; cuối cùng, năm 1894, trong một hồi ký nổi tiếng ([251 a], v. IX, pp. 123-196), H. Poincaré đã thành công trong việc chứng minh sự tồn tại và các tính chất cốt yếu của tất cả các trị riêng, bằng cách xét, với một "vế thứ hai" $f$ đã cho, nghiệm $u_\lambda$ của phương trình $L_\lambda(u) = f$ bằng không trên biên, và bằng cách chứng minh, nhờ một sự khái quát khéo léo phương pháp của Schwarz, rằng $u_\lambda$ là một hàm phân hình của biến phức $\lambda$, chỉ có các cực đơn thực $\lambda_n$, chính xác là các trị riêng cần tìm.

Công trình nghiên cứu này gắn bó chặt chẽ với những khởi đầu của lý thuyết các phương trình tích phân tuyến tính, lý thuyết đã góp phần có lẽ nhiều nhất vào sự xuất hiện của các tư tưởng hiện đại. Ở đây chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở việc đưa ra vài chỉ dẫn ngắn

$^2$ Cần lưu ý rằng, trong toàn bộ nghiên cứu này, Gram không tự giới hạn ở việc xét các hàm liên tục, mà nhấn mạnh tầm quan trọng của điều kiện $\int_a^b \rho f^2 dx < +\infty$.

về sự phát triển của lý thuyết này. Kiểu phương trình phiếm hàm này, thoạt đầu chỉ xuất hiện rải rác trong nửa đầu thế kỷ XIX (Abel, Liouville), đã trở nên quan trọng từ khi Beer và C. Neumann quy việc giải "bài toán Dirichlet" cho một miền $G$ khá chính quy về việc giải một "phương trình tích phân loại hai"

đối với một hàm chưa biết $u$; một phương trình mà C. Neumann đã thành công giải được bằng một thủ tục "xấp xỉ liên tiếp" vào năm 1877. Chắc hẳn được thúc đẩy vừa bởi các phép tương tự đại số đã nói ở trên vừa bởi các kết quả mà ông vừa thu được về phương trình màng rung, H. Poincaré, năm 1896 ([251 a], v. IX, pp. 202-272), đã có ý tưởng đưa vào một tham số biến $\lambda$ trước dấu tích phân trong phương trình trên, và khẳng định rằng, cũng như đối với phương trình màng rung, nghiệm khi đó là một hàm phân hình theo $\lambda$; nhưng ông không thành công trong việc chứng minh kết quả này, kết quả chỉ được I. Fredholm thiết lập bốn năm sau đó [116] (đối với một "hạt nhân" liên tục $K$ và một khoảng hữu hạn $[a, b]$). Có lẽ còn có ý thức hơn cả những người đi trước, tác giả sau này hoàn toàn để cho phép tương tự của (21.4) với hệ tuyến tính

dẫn dắt, để thu được nghiệm của (21.4) dưới dạng thương của hai biểu thức được xây dựng theo mô hình các định thức xuất hiện trong các công thức của Cramer. Ngoài ra đó không phải là một ý tưởng mới: ngay từ đầu thế kỷ XIX, phương pháp "hệ số bất định" (gồm việc tìm một hàm chưa biết được giả thiết là khai triển được thành chuỗi $\sum_n c_n \phi_n$, trong đó các $\phi_n$ là những hàm đã biết, bằng cách tính các hệ số $c_n$) đã dẫn tới "các hệ tuyến tính với vô hạn ẩn"

Fourier, khi gặp một hệ như vậy, vẫn "giải" nó như một nhà toán học của thế kỷ XVIII: ông triệt bỏ mọi hạng có chỉ số $i$ hoặc $j$ lớn hơn $n$, giải tường minh hệ hữu hạn thu được như thế bằng quy tắc Cramer, rồi "cho qua giới hạn" bằng cách cho $n$ tiến tới $+\infty$ trong nghiệm! Về sau, khi không còn đủ để chơi những trò tắc trách kiểu chuyển tay như thế nữa, thì chính bằng lý thuyết định thức mà người ta đã thực hiện những cố gắng đầu tiên để tấn công bài toán; bắt đầu từ năm 1886 (theo sau công trình của Hill), H. Poincaré, rồi H. von Koch, đã xây dựng một lý thuyết về các "định thức vô hạn" cho phép giải một số kiểu hệ (21.6) theo mô hình cổ điển; và nếu các kết quả ấy không áp dụng trực tiếp được cho bài toán mà Fredholm nhắm tới, thì ít nhất chắc chắn là lý thuyết của von Koch, đặc biệt, đã dùng được như một khuôn mẫu cho việc hình thành các "định thức" của ông.

Chính vào lúc này Hilbert bước lên sân khấu và đem lại một xung lực mới cho lý thuyết [163 b]. Trước hết ông hoàn tất công trình của Fredholm bằng cách thực hiện hữu hiệu việc cho qua giới hạn dẫn từ nghiệm của (21.5) đến nghiệm của (21.4); nhưng ngay lập tức ông còn gắn thêm vào đó việc cho qua giới hạn tương ứng đối với lý thuyết các dạng toàn phương thực, mà các kiểu phương trình nguyên với hạt nhân đối xứng (nghĩa là thỏa $K(y, x) = K(x, y)$) dẫn tới một cách tự nhiên, vốn là những kiểu thường gặp nhất trong Vật lý toán. Như vậy ông đạt tới công thức cơ bản tổng quát hóa trực tiếp việc đưa một dạng toàn phương về các trục của nó

trong đó các $\lambda_n$ là các giá trị riêng (tất yếu là thực) của hạt nhân $K$, các $\phi_n$ lập thành hệ trực giao các hàm riêng tương ứng, và vế thứ hai của công thức (21.7) là một chuỗi hội tụ đối với $\int_a^b x^2(s)dx \leq 1$. Ông cũng chỉ ra rằng mọi hàm "biểu diễn được" dưới dạng $f(x) = \int_a^b K(x, y)g(y)dy$ đều cho phép "khai triển" $\sum_{n=1}^\infty \phi_n \int_a^b \phi_n(y)f(y)dy$, và, tiếp tục phép tương tự với lý thuyết cổ điển về các dạng toàn phương, ông nêu ra một quy trình xác định các $\lambda_n$ bằng một phương pháp biến phân, mà thực ra không gì khác hơn là sự mở rộng các tính chất cực trị quen thuộc của các trục của một mặt bậc hai ([163 b], pp. 1-38).

Các kết quả đầu tiên này của Hilbert hầu như ngay lập tức được E. Schmidt tiếp nhận lại, dưới một dạng đơn giản hơn và tổng quát hơn, tránh việc đưa vào các "định thức Fredholm" cũng như việc chuyển từ hữu hạn sang vô hạn, và đã rất gần với một mệnh đề trừu tượng, vì các tính chất cơ bản là tính tuyến tính và tính dương của tích phân hiển nhiên chỉ được dùng trong các chứng minh [274 a]. Nhưng bản thân Hilbert khi đó đã đạt tới những quan niệm còn tổng quát hơn nhiều nữa. Toàn bộ các công trình đi trước đã làm nổi bật tầm quan trọng của các hàm khả tích bình phương, và công thức Parseval đã thiết lập một mối liên hệ chặt chẽ giữa các hàm ấy với các dãy $(c_n)$ sao cho $\sum_n c_n^2 < +\infty$. Không nghi ngờ gì chính ý tưởng này đã dẫn dắt Hilbert trong các hồi ký năm 1906 của ông ([163 b], chap. XI-XIII), ở đó, tiếp tục phương pháp cũ về "các hệ số bất định", ông chỉ ra rằng việc giải phương trình nguyên (21.4) là tương đương với một hệ gồm vô hạn phương trình tuyến tính

đối với các "hệ số Fourier" $x_p = \int_a^b u(t)\omega_p(t)dt$ của hàm chưa biết $u$ theo một hệ trực chuẩn đầy đủ $(\omega_n)$ đã cho (với $b_p = \int_a^b f(t) \omega_p(t) dt \text{ và } k_{pq} = \int_a^b \int_a^b K(s,t) \omega_p(s) \omega_q(t) ds dt$). Hơn nữa, từ quan điểm này, các nghiệm duy nhất của (21.8) cần xét là những nghiệm sao cho $\sum_n x_n^2 < +\infty$; do đó Hilbert tự đặt mình một cách có hệ thống trong khuôn khổ loại nghiệm này; nhưng bù lại ông nới lỏng các điều kiện áp đặt lên "ma trận vô hạn" ($k_{pq}$) (mà, trong (21.8), là loại thỏa $\sum_{p,q} k_{pq}^2 < +\infty$). Từ lúc đó, rõ ràng là "không gian Hilbert" của các dãy $x = (x_n)$ các số thực sao cho $\sum_n x_n^2 < +\infty$, tuy chưa được đưa vào một cách tường minh, đã làm nền cho toàn bộ lý thuyết, và xuất hiện như một "sự cho qua giới hạn" xuất phát từ không gian Euclid số chiều hữu hạn. Ngoài ra, điều đặc biệt quan trọng đối với các phát triển về sau là Hilbert được dẫn tới chỗ đưa vào trong không gian này không chỉ một mà hai khái niệm hội tụ phân biệt (tương ứng với điều người ta đã gọi là tôpô yếu và tôpô mạnh$^3$), cũng như một "nguyên lý lựa chọn" vốn không gì khác hơn là tính compact yếu của quả cầu đơn vị. Đại số tuyến tính mới mà ông phát triển liên quan đến việc giải các hệ (21.8) hoàn toàn dựa trên các khái niệm tôpô này: các ánh xạ tuyến tính, các dạng tuyến tính và các dạng song tuyến tính (liên kết với các ánh xạ tuyến tính) được phân loại và nghiên cứu theo các tính chất "liên tục"$^4$ của chúng. Đặc biệt, Hilbert phát hiện ra rằng sự thành công của phương pháp Fredholm dựa trên khái niệm "liên tục hoàn toàn", mà ông làm nổi bật bằng cách phát biểu nó cho các dạng song tuyến tính$^5$ và nghiên cứu nó một cách sâu sắc; ở đây chúng tôi không thể cho thêm chi tiết nào về khái niệm quan trọng này, cũng như về công trình đáng khâm phục và sâu sắc trong đó Hilbert khai mở lý thuyết phổ của các dạng song tuyến tính đối xứng (bị chặn hoặc không).

Ngôn ngữ của Hilbert vẫn còn cổ điển, và, xuyên suốt "Grundzüge", ông không ngừng hướng tới các ứng dụng của lý thuyết, mà ông triển khai nhiều ví dụ (chiếm khoảng một nửa cuốn sách). Thế hệ tiếp theo sẽ chấp nhận một quan điểm trừu tượng hơn. Dưới ảnh hưởng của các ý tưởng của Fréchet và của F. Riesz về tôpô tổng quát (xem p. 142), E. Schmidt [274 b] và chính Fréchet đã cố ý đưa vào, trong các năm 1907-1908, ngôn ngữ của hình học Euclid vào "không gian Hilbert" (thực hoặc phức); chính trong các công trình này người ta thấy lần đầu tiên sự nhắc đến chuẩn (với đúng ký hiệu $||x||$), bất đẳng thức tam giác mà nó thỏa mãn, sự kiện rằng không gian Hilbert là "tách được" và đầy đủ; hơn nữa, E. Schmidt chứng minh sự tồn tại của phép chiếu trực giao lên một đa tạp tuyến tính đóng, điều này cho phép ông đưa lý thuyết các hệ tuyến tính của Hilbert về một dạng đơn giản hơn và tổng quát hơn. Cũng vào năm 1907, Fréchet và F. Riesz nhận xét rằng không gian các

$^3$ Giải tích biến phân đã dẫn một cách tự nhiên đến việc xét những khái niệm hội tụ khác nhau trên cùng một tập hợp hàm (tùy theo người ta chỉ đòi hỏi sự hội tụ đều của các hàm, hay sự hội tụ đều của các hàm cùng với một số đạo hàm nào đó của chúng); nhưng các kiểu hội tụ do Hilbert xác định, vào thời đó, thuộc một kiểu hoàn toàn mới.

$^4$ Cần lưu ý rằng, cho đến khoảng năm 1935, bởi hàm "liên tục" trên thực tế người ta luôn hiểu là một ánh xạ biến mọi dãy hội tụ thành một dãy hội tụ.

$^5$ Đối với Hilbert, một dạng song tuyến tính $B(x,y)$ là hoàn toàn liên tục nếu, khi các dãy $(x_n), (y_n)$ hội tụ yếu lần lượt đến $x$ và $y$, thì $B(x_n, y_n)$ hội tụ đến $B(x, y)$.

chuỗi bình phương khả tổng có một "hình học" hoàn toàn tương tự; một sự tương tự được giải thích hoàn hảo khi, vài tháng sau đó, F. Riesz và E. Fischer chứng minh rằng không gian này là đầy đủ và đẳng cấu với "không gian Hilbert", đồng thời làm nổi bật một cách kinh ngạc giá trị của công cụ vừa được Lebesgue tạo ra. Kể từ thời điểm đó, các điểm cốt yếu của lý thuyết không gian Hilbert có thể được xem là đã được xác lập; trong những tiến bộ gần đây hơn, đặc biệt cần nhắc đến cách trình bày tiên đề của lý thuyết do M. H. Stone và J. von Neumann đưa ra vào khoảng năm 1930, cũng như việc loại bỏ các hạn chế về "tính tách được", được thực hiện vào khoảng năm 1934, trong các công trình của Rellich, Löwig, và F. Riesz [260 g].

Tuy nhiên, trong những năm đầu của thế kỷ XX, những dòng ý tưởng khác cũng xuất hiện để củng cố xu hướng đang dẫn tới lý thuyết các không gian định chuẩn. Ý tưởng tổng quát về một "phiếm hàm" (nghĩa là một hàm nhận giá trị số xác định trên một tập hợp mà các phần tử của nó lại chính là những hàm số của một hoặc nhiều biến thực) đã được làm nổi bật vào những thập niên cuối của thế kỷ XIX, gắn, một mặt, với giải tích biến phân, mặt khác, với lý thuyết các phương trình tích phân. Nhưng nếu việc làm sáng tỏ khái niệm này, cũng như ý tưởng tổng quát hơn về "toán tử", chủ yếu là công lao của trường phái Italian, quanh Pincherle và nhất là Volterra, thì công trình của trường phái này thường vẫn mang tính chất khá hình thức và gắn với những bài toán thuộc một kiểu riêng biệt, thiếu một sự giải tích đủ sâu về các khái niệm tôpô nền tảng. Năm 1903, Hadamard khai mở lý thuyết hiện đại về đối ngẫu "tôpô", bằng cách tìm các "phiếm hàm" tuyến tính liên tục tổng quát nhất trên không gian $C(I)$ của các hàm số trên một khoảng compact $I$ (một không gian được trang bị một tôpô của sự hội tụ đều), và đặc trưng chúng như các giới hạn của các dãy tích phân $x \mapsto \int_I k_n(t)x(t)dt$. Năm 1907, Fréchet và F. Riesz cũng chỉ ra theo cùng cách đó rằng, trên một không gian Hilbert, các dạng tuyến tính liên tục chính là các dạng "bị chặn" do Hilbert đưa vào; rồi, năm 1909, F. Riesz đặt định lý của Hadamard vào hình thức chung cuộc, bằng cách biểu diễn mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $C(I)$ bởi một tích phân Stieltjes, một định lý về sau đã trở thành điểm xuất phát của lý thuyết tích phân hiện đại (xem p. 226).

Năm sau đó, vẫn chính F. Riesz [260 c] là người đạt được những tiến bộ mới và quan trọng trong lý thuyết bằng cách đưa vào và nghiên cứu (mượn từ lý thuyết không gian Hilbert) các không gian $L^p(I)$ của các hàm $p$-lũy thừa khả tổng trên một khoảng $I$ (với một số mũ $p$ sao cho $1 < p < +\infty$), một nghiên cứu mà ba năm sau [260 e] ông tiếp nối bằng công trình tương tự trên các không gian dãy $L^p(\mathbf{N})$; như ta sẽ thấy về sau, các nghiên cứu này đã góp phần rất lớn vào việc làm sáng tỏ các ý tưởng về đối ngẫu, bởi vì ở đây lần đầu tiên gặp hai không gian đối ngẫu với nhau mà không đẳng cấu một cách tự nhiên.$^6$

$^6$ Mặc dù đối ngẫu giữa $L^1$ và $L^\infty$ là điều hàm ẩn trong phần lớn các công trình về tích phân Lebesgue vào thời kỳ này, mãi đến năm 1918 H. Steinhaus mới chứng minh được rằng mọi dạng tuyến tính liên tục trên $L^1(I)$ ($I$ là một khoảng hữu hạn) đều có dạng $x \mapsto \int_I f(t)x(t)dt$, trong đó $f \in L^\infty(I)$.

Từ thời điểm đó, F. Riesz đã nghĩ đến một nghiên cứu tiên đề bao quát tất cả các kết quả ấy ([260 c], p. 452); và dường như chỉ có những dè dặt của một nhà giải tích quan tâm đến việc không tách mình quá xa khỏi toán học cổ điển mới ngăn ông viết hồi ký nổi tiếng năm 1918 của mình về lý thuyết Fredholm dưới dạng ấy [260 f]. Về nguyên tắc, ở đó ông xét không gian $C(I)$ của các hàm liên tục trên một khoảng compact; nhưng, sau khi đã định nghĩa chuẩn của không gian này, và nhận thấy rằng $C(I)$, cùng với chuẩn ấy, là đầy đủ, thì trong các lập luận của mình ông không bao giờ còn dùng đến điều gì khác ngoài các tiên đề của các không gian chuẩn đầy đủ.$^7$ Không đi vào khảo sát chi tiết công trình này ở đây, ta hãy nhắc rằng chính ở đó người ta thấy lần đầu tiên được định nghĩa một cách tổng quát khái niệm ánh xạ tuyến tính hoàn toàn liên tục (bởi tính chất biến đổi một lân cận thành một tập compact tương đối);$^8$ và, bằng một kiệt tác của giải tích tiên đề, toàn bộ lý thuyết của Fredholm (ở phương diện định tính của nó) được quy về một định lý cơ bản duy nhất, đó là mọi không gian chuẩn compact địa phương đều hữu hạn chiều.

Định nghĩa tổng quát về các không gian chuẩn đã được đưa ra vào các năm 1920-22 bởi S. Banach, H. Hahn và E. Helly (người sau này chỉ xét các không gian của các dãy số thực hoặc phức). Trong mười năm tiếp theo, lý thuyết các không gian phát triển chủ yếu xoay quanh hai vấn đề có tầm quan trọng cơ bản đối với các ứng dụng: lý thuyết đối ngẫu và các định lý gắn với khái niệm “phạm trù” của Baire.

Ta đã thấy rằng ý tưởng đối ngẫu (theo nghĩa tôpô) có từ đầu thế kỷ XX; nó làm nền cho lý thuyết của Hilbert và giữ một vị trí trung tâm trong công trình của F. Riesz. Chẳng hạn, ngay từ năm 1911 ([260 d], pp. 41-42), chính ông đã nhận thấy rằng quan hệ $|f(x)| \leq M \|x\|$ (được lấy làm định nghĩa của các phiếm hàm tuyến tính “bị chặn” trong không gian Hilbert) là tương đương với tính liên tục của $f$ khi ta ở trong không gian $C(I)$, và điều đó bằng một lập luận có đặc trưng hoàn toàn tổng quát. Liên quan đến việc đặc trưng các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $C(I)$, ông cũng nhận thấy rằng điều kiện để một tập $A$ trù mật trong $C(I)$ là không tồn tại một độ đo Stieltjes nào $\mu \neq 0$ trên $I$ “trực giao” với mọi hàm của $A$ (nhờ đó tổng quát hóa điều kiện Gram đối với các hệ trực chuẩn đầy đủ); cuối cùng, trong cùng công trình ấy, ông lưu ý rằng đối ngẫu của không gian $L^\infty$ “lớn hơn” không gian các độ đo Stieltjes ([260 d], p. 62).

$^7$ Hơn nữa, F. Riesz còn nhận xét một cách tường minh rằng việc áp dụng các định lý của ông cho các hàm liên tục ở đó chỉ là một “đá thử” đối với những khái niệm tổng quát hơn nhiều ([260 f], p. 71).

$^8$ Trong các công trình của mình về các không gian $L^p$, F. Riesz đã định nghĩa các ánh xạ hoàn toàn liên tục là những ánh xạ biến đổi mọi dãy hội tụ yếu thành một dãy hội tụ mạnh; điều này (nếu tính đến tính compact yếu của quả cầu đơn vị trong $L^p$ với $1 < p < +\infty$) là tương đương, trong trường hợp này, với định nghĩa trước đó; hơn nữa, F. Riesz đã chỉ ra rằng, đối với không gian $L^2$, định nghĩa của ông tương đương với định nghĩa của Hilbert (bằng cách chuyển nó từ ngôn ngữ các ánh xạ tuyến tính sang ngôn ngữ các dạng song tuyến tính ([260 c], p. 487)).

Mặt khác, trong công trình của mình về các không gian $L^p(I)$ và $L^p(\mathbf{N})$, F. Riesz đã thành công trong việc biến đổi phương pháp giải các hệ tuyến tính trong không gian Hilbert do E. Schmidt đưa ra [274 b], sao cho nó có thể áp dụng được cho những trường hợp tổng quát hơn. Ý tưởng của E. Schmidt là xác định một nghiệm "cực biên" của (21.6) bằng cách tìm điểm của đa tạp tuyến tính đóng được biểu diễn bởi các phương trình (21.6), mà khoảng cách đến gốc là cực tiểu. Bằng cách dùng cùng ý tưởng ấy, F. Riesz chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại một hàm $x \in L^p(a, b)$ thỏa mãn các phương trình

(trong đó các $\alpha_i$ thuộc $L^q$ (với $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$)), và đồng thời cũng thỏa mãn $\int_a^b |x(t)|^p dt \leq M^p$, là, với mọi dãy hữu hạn $(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$ các số thực, ta có

Năm 1911 [260 d], ông xử lý một cách tương tự "bài toán các moment suy rộng", gồm việc giải hệ

trong đó các $\alpha_i$ là liên tục và ẩn là một độ đo Stieltjes $\xi$;$^9$ và ở đây có thể thấy rằng bài toán có thể được phát biểu bằng cách nói rằng đó là một trường hợp xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $C(I)$ nhờ các giá trị của nó trên một dãy điểm cho trước trong không gian này. Cũng chính dưới dạng ấy mà Helly xử lý bài toán vào năm 1912, — thu được các điều kiện của F. Riesz bằng một phương pháp khá khác và có phạm vi áp dụng rộng hơn$^{10}$ — và ông lại xét nó vào năm 1921, dưới những điều kiện tổng quát hơn nhiều. Khi đưa vào khái niệm chuẩn (trên các không gian dãy) như ta đã thấy ở trên, ông nhận thấy rằng khái niệm này tổng quát hóa khái niệm "gauge" của một vật thể lồi trong không gian $n$ chiều, được Minkowski dùng trong công trình nổi tiếng của ông về "hình học các số" [221 a and b]. Trong quá trình công trình này, Minkowski cũng đã định nghĩa (trong $\mathbf{R}^n$) cái

$^9$ "Bài toán moment" cổ điển tương ứng với trường hợp khoảng ]$a, b$ là ]$0, +\infty$ hoặc ]$-\infty, +\infty$, và trong đó $\alpha_i(t) = t^i$; hơn nữa người ta còn áp đặt lên độ đo $\xi$ điều kiện nó là dương (F. Riesz chỉ ra trong hồi ký năm 1911 của ông các điều kiện tổng quát của ông phải được sửa đổi như thế nào khi tìm các nghiệm kiểu này). Trong số các phương pháp giải khác nhau của bài toán moment cổ điển, đặc biệt phải kể đến phương pháp của M. Riesz, phương pháp này kết hợp một cách thanh nhã các ý tưởng tổng quát của Giải tích phiếm hàm và lý thuyết các hàm của một biến phức để thu được các điều kiện tường minh đối với các $b_i$ [261]. $^{10}$ Cũng như F. Riesz ([260 d], tr. 49-50), Helly dùng trong chứng minh này một "nguyên lý lựa chọn" mà dĩ nhiên không là gì khác ngoài tính compact yếu của quả cầu đơn vị trong không gian các độ đo Stieltjes; F. Riesz cũng đã dùng tính chất tương tự trong $L^p$ ($1 < p < +\infty$).

các khái niệm siêu phẳng tựa và "hàm tựa" [221 b], và đã chứng minh sự tồn tại của một siêu phẳng tựa tại mọi điểm biên của một vật lồi ([221 a], tr. 33-35). Helly mở rộng các khái niệm này tới một không gian dãy $E$, được trang bị một chuẩn tùy ý; ông thiết lập một đối ngẫu giữa $E$ và không gian $E'$ gồm các dãy $u = (u_n)$ sao cho, với mọi $x = (x_n) \in E$, chuỗi $(u_n x_n)$ phải hội tụ; ký hiệu $\langle u, x \rangle$ là tổng của chuỗi này, ông định nghĩa trong $E'$ một chuẩn bởi công thức $\sup_{x \neq 0} |\langle u, x \rangle| / ||x||$, công thức này cho hàm tựa trong các không gian hữu hạn chiều.$^{11}$

Việc giải một hệ (21.6) trong $E$, trong đó mỗi dãy $u_i = (a_{ij})_{j \geq 1}$ được giả thiết là thuộc $E'$, như Helly khi đó chỉ ra, quy về việc lần lượt giải hai bài toán sau: $1^\circ$ tìm một dạng tuyến tính liên tục $L$ trên không gian định chuẩn $E'$, sao cho $L(u_i) = b_i$ với mọi chỉ số $i$, điều này, như ông chỉ ra, dẫn đến các điều kiện kiểu (21.10); $2^\circ$ xét xem liệu một dạng tuyến tính như vậy có thể được viết dưới dạng $u \mapsto \langle u, x \rangle$ với một $x \in E$ hay không. Bài toán cuối cùng này, như Helly nhận thấy, không nhất thiết có nghiệm ngay cả khi $L$ tồn tại, và ông chỉ giới hạn ở việc đưa ra một vài điều kiện đủ kéo theo sự tồn tại của nghiệm $x \in E$ trong một số trường hợp riêng [156].

Các ý tưởng này đạt được hình thức quyết định của chúng vào năm 1927, trong một hồi ký cơ bản của H. Hahn [142] mà các kết quả lại được S. Banach tìm ra (độc lập) hai năm sau [14 c]. Phương pháp Minkowski-Helly được Hahn áp dụng cho một không gian định chuẩn tùy ý, và do đó đem lại cho đối ngẫu cấu trúc của một không gian định chuẩn (đầy đủ); điều này cho phép Hahn ngay lập tức xét các đối ngẫu liên tiếp của một không gian định chuẩn, và phát biểu một cách tổng quát bài toán về các không gian phản xạ, đã được Helly dự kiến trước. Nhưng trên hết bài toán chủ yếu là mở rộng một phiếm hàm tuyến tính liên tục mà vẫn bảo toàn chuẩn của nó được Hahn giải quyết dứt khoát một cách hoàn toàn tổng quát, bằng một lập luận quy nạp siêu hạn theo chiều — qua đó cho một trong những ví dụ đầu tiên về một áp dụng quan trọng của tiên đề lựa chọn vào Giải tích phiếm hàm.$^{12}$ Vào các kết quả này, Banach bổ sung một nghiên cứu thấu đáo về các quan hệ giữa một ánh xạ tuyến tính liên tục và chuyển vị của nó, mở rộng sang các không gian định chuẩn tổng quát những kết quả cho đến lúc đó chỉ biết đối với các không gian $L^p$ [260 c], nhờ một định lý sâu sắc về các tập con đóng yếu của một đối ngẫu; hơn nữa các kết quả này còn được biểu thị theo một cách nổi bật hơn bằng cách dùng khái niệm không gian thương của một không gian định chuẩn, được Hausdorff và chính Banach đưa vào vài năm sau đó. Sau cùng, cũng chính Banach là người phát hiện mối liên hệ giữa tính compact yếu của quả cầu đơn vị (đã được nhận thấy trong nhiều trường hợp riêng, như chúng tôi đã chỉ ra ở trên) và tính phản xạ, ít nhất đối với các không gian kiểu đếm được ([14 a], p. 189). Từ thời điểm này, lý thuyết về đối ngẫu của các không gian định chuẩn có thể được xem là đã được xác lập trong những nét lớn của nó.

$^{11}$ Để thu được một chuẩn theo cách này, phải giả thiết rằng quan hệ $\langle u, x \rangle = 0$ với mọi $x \in E$ kéo theo $u = 0$, như hơn nữa chính Helly nhận xét một cách tường minh.

$^{12}$ Banach đã dùng một lập luận tương tự từ năm 1923 [14 b], nhằm định nghĩa một độ đo bất biến trên mặt phẳng (được định nghĩa trên mọi tập con bị chặn).

Đồng thời, một số định lý có vẻ nghịch lý cũng đã được làm sáng tỏ, mà những ví dụ đầu tiên có từ vào khoảng năm 1910. Quả thực, Hellinger và Toeplitz về thực chất đã chứng minh ngay trong năm đó rằng một dãy các dạng song tuyến tính bị chặn $B_n(x, y)$ trên một không gian Hilbert, mà các giá trị $B_n(a, b)$ của chúng với mỗi cặp đã cho $(a, b)$ đều bị chặn (bởi một số phụ thuộc a priori vào $a$ và $b$), thì trên thực tế lại bị chặn đều trên mọi quả cầu. Chứng minh của họ tiến hành bằng phản chứng và gồm việc xây dựng một cặp riêng $(a, b)$ vi phạm giả thiết, bằng một phương pháp quy nạp từ đó về sau được biết dưới tên "phương pháp bướu trượt", và đến nay vẫn còn được dùng trong nhiều bài toán tương tự. Ngay từ năm 1905, Lebesgue đã dùng một thủ tục tương tự để chứng minh sự tồn tại của các hàm liên tục mà chuỗi Fourier của chúng phân kỳ tại một số điểm; và cũng chính năm Hellinger và Toeplitz công bố kết quả, ông đã áp dụng cùng phương pháp đó để chứng minh rằng một chuỗi hội tụ yếu trong $L^1$ thì bị chặn theo chuẩn.$^{13}$ Những ví dụ như vậy gia tăng trong các năm tiếp theo, nhưng không có sự đưa vào của một ý tưởng mới nào cho đến năm 1927, khi Banach và Steinhaus (với sự cộng tác một phần của S. Saks) gắn các hiện tượng ấy với khái niệm tập hợp mỏng và với định lý Baire về các không gian mêtric đầy đủ, qua đó thu được một mệnh đề tổng quát bao trùm mọi trường hợp riêng trước đó [15]. Việc nghiên cứu các vấn đề về "phạm trù" trong các không gian chuẩn đầy đủ cũng đồng thời dẫn Banach tới nhiều kết quả khác về các ánh xạ tuyến tính liên tục; đáng chú ý nhất và không nghi ngờ gì là sâu sắc nhất là định lý "đồ thị đóng", định lý này, cũng như định lý Banach-Steinhaus, đã tỏ ra là một công cụ hàng đầu trong Giải tích Phiếm hàm hiện đại [14 c].

Việc xuất bản chuyên khảo của Banach về "Linear Operators" [14 a] có thể nói là đánh dấu sự bắt đầu của tuổi trưởng thành đối với lý thuyết các không gian chuẩn. Mọi kết quả mà chúng tôi vừa nói tới, cũng như nhiều kết quả khác nữa, đều được trình bày trong tập này theo một cách vẫn còn hơi thiếu tổ chức, nhưng kèm theo nhiều ví dụ nổi bật lấy từ những miền rất khác nhau của Giải tích, dường như báo trước một tương lai rực rỡ cho lý thuyết. Quả nhiên, công trình ấy đã thành công rất lớn, và một trong những hệ quả ngay lập tức nhất của nó là việc gần như phổ quát chấp nhận ngôn ngữ và ký hiệu do Banach dùng. Nhưng, mặc dù trong 40 năm đã có một khối lượng lớn nghiên cứu được tiến hành về các không gian Banach ([203 bis]), nếu loại trừ lý thuyết các đại số Banach và các áp dụng của nó vào giải tích điều hòa giao hoán và không giao hoán, thì sự vắng mặt gần như hoàn toàn của những áp dụng mới của lý thuyết vào các bài toán lớn của Giải tích cổ điển phần nào đã làm thất vọng những hy vọng đặt vào nó.

Chính theo hướng của một sự mở rộng và một sự phân tích tiên đề mạnh mẽ hơn các khái niệm liên quan đến các không gian chuẩn mà những phát triển phong phú nhất đã xuất hiện. Mặc dù các không gian phiếm hàm gặp phải từ đầu-

$^{13}$ Ta cũng chú ý định lý tương tự (dễ hơn) do Landau chứng minh năm 1907 và đã dùng làm điểm xuất phát cho F. Riesz trong lý thuyết các không gian $L^p$ của ông: nếu chuỗi có số hạng tổng quát $u_n x_n$ hội tụ với mọi dãy $(x_n) \in L^q(\mathbf{N})$, thì dãy $(u_n)$ thuộc $L^p(\mathbf{N})$ (với $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$).

thế kỷ XX phần lớn xuất hiện cùng với một chuẩn "tự nhiên", vẫn đã có một vài ngoại lệ được nhận thấy. Vào khoảng năm 1910, E. H. Moore đã đề nghị tổng quát hóa khái niệm hội tụ đều bằng cách thay thế nó bằng khái niệm "hội tụ đều tương đối", trong đó một lân cận của 0 được tạo bởi các hàm $f$ thỏa mãn một quan hệ $|f(t)| \leq \epsilon g(t)$, với $g$ là một hàm mọi nơi $> 0$, và có thể thay đổi theo lân cận. Mặt khác, trước năm 1930 người ta đã nhận thấy rằng những khái niệm như hội tụ đơn, hội tụ theo độ đo đối với các hàm đo được, hoặc hội tụ compắc đối với các hàm nguyên, không thể được định nghĩa bằng một chuẩn; và năm 1926, Fréchet đã chú ý rằng các không gian vectơ thuộc loại ấy có thể mêtric hóa được và đầy đủ. Nhưng lý thuyết của những không gian tổng quát hơn này chỉ phát triển một cách phong phú khi kết hợp với ý tưởng lồi. Ý tưởng sau này (mà ta đã thấy xuất hiện ở Helly) là đối tượng nghiên cứu của Banach và các học trò của ông, những người đã nhận ra khả năng giải thích theo một cách hình học hơn nhiều mệnh đề của lý thuyết các không gian chuẩn, chuẩn bị con đường cho định nghĩa tổng quát về các không gian lồi địa phương do J. von Neumann đưa ra năm 1935. Lý thuyết các không gian này, và đặc biệt là những vấn đề liên quan đến đối ngẫu, đã được phát triển nhất là trong mười năm gần đây. Điều cần chú ý trong bối cảnh này là, một mặt, sự tiến bộ về tính đơn giản và tính tổng quát có được nhờ việc thiết lập các khái niệm cơ bản của Tôpô tổng quát, được thực hiện trong khoảng từ 1930 đến 1940; mặt khác, tầm quan trọng mà khái niệm tập hợp bị chặn, do Kolmogoroff và von Neumann đưa vào năm 1935, đã đạt được, và vai trò cơ bản của nó trong lý thuyết đối ngẫu đã được làm sáng tỏ bởi các công trình của Mackey [213 a and b] và của Grothendieck [138 b and c]. Sau cùng và trên hết, chắc chắn rằng xung lực chính thúc đẩy nghiên cứu này xuất phát từ những khả năng mới để áp dụng vào Giải tích, trong những lĩnh vực mà lý thuyết Banach bất lực: ở đây phải nhắc đến lý thuyết các không gian dãy, được Köthe, Toeplitz và các học trò của họ phát triển từ năm 1934 trong một loạt hồi ký [184], sự thiết lập gần đây của lý thuyết "các phiếm hàm giải tích" của Fantappié, và nhất là lý thuyết các phân phối của L. Schwartz [280], trong đó lý thuyết hiện đại về các không gian lồi địa phương đã tìm thấy một miền áp dụng mà chắc chắn còn lâu mới cạn kiệt.