20. Không gian hàm.

Ta biết rằng khái niệm hàm tùy ý hầu như chỉ xuất hiện không lâu trước đầu thế kỷ XIX. Lại càng như vậy đối với ý tưởng nghiên cứu một cách tổng quát các tập hợp hàm, và trang bị cho chúng một cấu trúc tôpô; ý tưởng này không xuất hiện trước Riemann (xem p. 141) và chỉ bắt đầu được đưa vào sử dụng trước cuối thế kỷ XIX.

Tuy nhiên, khái niệm hội tụ của một dãy các hàm số đã được dùng một cách ít nhiều có ý thức ngay từ buổi đầu của phép tính vi tích phân. Nhưng khi đó chỉ là hội tụ đơn, và không thể khác được trước khi các khái niệm chuỗi hội tụ và hàm liên tục được Bolzano và Cauchy định nghĩa một cách chính xác. Lúc đầu chính Cauchy cũng không thấy sự phân biệt giữa hội tụ đơn và hội tụ đều, và tin rằng có thể chứng minh rằng mọi chuỗi hội tụ của các hàm liên tục đều có tổng là một hàm liên tục ([56 a], (2), vol. III, p. 120). Sai lầm ấy hầu như ngay lập tức đã bị Abel phát hiện, đồng thời ông chứng minh rằng mọi chuỗi lũy thừa đều liên tục ở phần trong của khoảng hội tụ của nó, bằng lập luận nay đã trở thành kinh điển, trong đó, trong trường hợp riêng này, ý tưởng hội tụ đều được dùng một cách cốt yếu ([1], v. I, pp. 223-224). Chỉ còn phải tách khái niệm sau này ra một cách tổng quát, điều đó đã được Stokes và Seidel làm một cách độc lập trong các năm 1847-48, và bởi chính Cauchy vào năm 1853 ([56 a], (1), vol. XII, p. 30).$^1$

Dưới ảnh hưởng của Weierstrass và Riemann, việc nghiên cứu có hệ thống khái niệm hội tụ đều và các vấn đề liên thông được phát triển trong phần ba cuối của thế kỷ XIX bởi trường phái Đức (Hankel, du Bois-Reymond) và đặc biệt là trường phái Ý: Dini và Arzelà xác định các điều kiện cần để giới hạn của một dãy các hàm liên tục là liên tục, trong khi Ascoli đưa vào khái niệm cơ bản về tính liên tục đồng bậc và chứng minh định lý đặc trưng các tập hợp compắc của các hàm liên tục [10] (một định lý về sau được Montel phổ biến trong lý thuyết của ông về các "họ chuẩn", vốn không là gì khác hơn các tập hợp tương đối compắc của các hàm giải tích).

$^1$ Trong một công trình đề năm 1841, nhưng chỉ được xuất bản vào năm 1894 ([329 a], v. I, pp. 67-74), Weierstrass sử dụng với sự sáng tỏ hoàn hảo khái niệm hội tụ đều (mà ông đặt tên ấy lần đầu tiên) cho các chuỗi lũy thừa của một hoặc nhiều biến phức.

Mặt khác, chính Weierstrass đã phát hiện ([329 a], v. III, pp. 1-37) khả năng xấp xỉ đều bằng các đa thức một hàm số liên tục của một hoặc nhiều biến thực trên một tập hợp bị chặn, một kết quả đã ngay lập tức khơi dậy một mối quan tâm sôi nổi, và dẫn đến nhiều nghiên cứu "định lượng" nằm ngoài quan điểm mà hiện nay ta theo đuổi.

Đóng góp hiện đại cho các vấn đề này trước hết là ở chỗ đem lại cho chúng toàn bộ tầm mức mà chúng có thể đạt tới, bằng cách làm cho chúng được vận dụng đối với những hàm mà tập hợp xác định và tập hợp giá trị không còn bị hạn chế vào $\mathbf{R}$ hoặc vào các không gian có số chiều hữu hạn nữa, và như vậy đặt chúng vào khuôn khổ tự nhiên của mình, với sự trợ giúp của các khái niệm tôpô tổng quát. Đặc biệt, định lý Weierstrass, vốn đã cho thấy mình là một công cụ cấp một trong Giải tích cổ điển, trong những năm gần đây đã có thể được M. H. Stone mở rộng sang những trường hợp tổng quát hơn nhiều: phát triển một ý tưởng do H. Lebesgue đưa vào (trong một chứng minh của định lý Weierstrass), ông đã nêu bật vai trò quan trọng do các dàn đảm nhiệm trong việc xấp xỉ các hàm số liên tục bằng số (xấp xỉ bằng các "đa thức dàn"), và mặt khác đã chỉ ra định lý Weierstrass tổng quát hóa kéo theo ngay lập tức cả một chuỗi các định lý xấp xỉ tương tự, nhờ đó được nhóm lại theo một cách mạch lạc hơn nhiều [301 c].