Bài tập 1, § 3

Cho E là một không gian Hilbert với một cơ sở trực chuẩn đếm được $(\mathbf{e}_n )$ (TVS, V, §2, No.3), $E_0$ là không gian con tuyến tính trù mật của E được tạo bởi các tổ hợp tuyến tính của hữu hạn vectơ $\mathbf{e}_n$. Cho X là không gian con compact của $\mathbf{R}$ được tạo bởi 0 và các điểm $1/n$ ($n$ là một số nguyên $\geqslant 1$); cho $\mu$ là độ đo dương trên X được xác định bởi khối lượng $1/n^2$ tại mỗi điểm $1/n$ và khối lượng 0 tại điểm 0 ($§ 1$, No. 3, Ví dụ I). Xét ánh xạ liên tục f của X vào $E_0$ được xác định bởi $f(0) = 0,\ f(1/n) = \mathbf{e}_n / n$ với $n \geqslant 1$; chứng minh rằng tích phân $\int f\ d\mu$ không thuộc $E_0$.