Exercice 1, § 3

Soient E un espace hilbertien ayant une base orthonormale dénombrable $(e_n)$ (Esp. vect. top., chap. V, § 2, n° 3), $E_0$ le sous-espace partout dense de E formé des combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs $e_n$. Soit X le sous-espace compact de $\mathbf{R}$ formé de 0 et des points $1/n$ ($n$ entier $\geqslant 1$); soit $\mu$ la mesure positive sur $X$ définie par la masse $1/n^2$ en chaque point $1/n$ et la masse 0 au point 0 (§ 1, n° 3, Exemple 1). On considère l’application continue $f$ de $X$ dans $E_0$ définie par $f(0) = 0,\ f(1/n) = e_n/n$ pour $n \geqslant 1$; montrer que l’intégrale $\int f d\mu$ n’appartient pas à $E_0$.