Bài tập 3, § 3

a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff gần đầy đủ. Hãy chứng minh rằng khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô gần mạnh ($§ 1$, Exer. 8) (tương ứng tôpô hội tụ compact chặt), ánh xạ $(f, \mu) \mapsto \int f\ d\mu$ là $(\mathscr{G}, \mathscr{T})$-nửa liên tục đều, $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập con bị chặn yếu của $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, $\mathscr{G}$ là tập hợp các tập con bị chặn (tương ứng compact) của $\mathscr{K}(X; E)$ được chứa trong $\mathscr{K}(X, K; E)$ với một tập compact K thích hợp.

b) Với mọi tập con compact K của X, ánh xạ $(f, \mu) \mapsto \int f\ d\mu$ là liên tục trên $\mathscr{K}(X, K; E) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ khi $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ được trang bị tôpô gần mạnh, và trên $\mathscr{K}(X, K; E) \times \mathscr{M}_+(X)$ khi $\mathscr{M}_+(X)$ được trang bị tôpô yếu.