Exercice 3, § 3

a) Soit $E$ un espace localement convexe séparé quasi-complet. Montrer que lorsqu’on munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie quasi-forte (§ 1, exerc. 8) (resp. de la topologie de la convergence strictement compacte), l’application $(f, \mu) \mapsto \int f d\mu$ est $(\mathscr{S}, \mathscr{T})$-hypocontinue, $\mathscr{T}$ étant l’ensemble des parties vaguement bornées de $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$, $\mathscr{S}$ l’ensemble des parties bornées (resp. compactes) de $\mathscr{K}(X; E)$ contenues dans un $\mathscr{K}(X, K; E)$ pour un $K$ compact convenable.

b) Pour toute partie compacte $K$ de $X$, l’application $(f, \mu) \mapsto \int f d\mu$ est continue dans $\mathscr{K}(X, K; E) \times \mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ lorsqu’on munit $\mathscr{M}(X; \mathbf{C})$ de la topologie quasi-forte, et dans $\mathscr{K}(X, K; E) \times \mathscr{M}_+(X)$ lorsqu’on munit $\mathscr{M}_+(X)$ de la topologie vague.