Bài tập 5, § 1

Cho X là tập con của mặt phẳng $\mathbf{R}^2$ được tạo bởi hợp của đường thẳng $D = \{0\} \times \mathbf{R}$ và tập các điểm $(1/n, k/n^2)$, trong đó $n$ chạy trên tập hợp các số nguyên $> 0$, và $k$ chạy trên tập $\mathbf{Z}$ các số nguyên hữu tỉ.

a) Với mỗi điểm $(0, y)$ của D và mỗi số nguyên $n > 0$, gọi $T_n(y)$ là tập các điểm $(u, v)$ trong X sao cho $u \leq 1/n$ và $|v - y| \leq u$. Chứng minh rằng nếu lấy làm hệ cơ bản các lân cận của mỗi điểm $(0, y)$ trong D tập $T_n(y)$ ($n > 0$), và làm hệ cơ bản các lân cận của mỗi điểm khác của X tập duy nhất thu gọn về điểm đó, thì ta xác định trên X một tôpô $\mathscr{T}$ sao cho X là một không gian địa phương compact không paracompact.

b) Gọi $\alpha$ là hàm số trên X bằng 0 trên D và bằng $1/n^3$ tại mỗi điểm $(1/n, k/n^2)$. Chứng minh rằng, với mọi tập con compact K của X, $\sum_{x \in K} \alpha(x)$ là hữu hạn; gọi $\mu$ là độ đo dương trên X được xác định bởi các khối lượng $\alpha(x)$. Chứng minh rằng $\mu^*(D) = +\infty$ mặc dù $\alpha(x) = 0$ trên D. (Nếu một tập mở U đối với $\mathscr{T}$ chứa D, chứng minh rằng tồn tại một khoảng $a \leq y \leq b$ trên D không thu gọn về một điểm, một tập B trù mật trong khoảng này (đối với tôpô thông thường của $\mathbf{R}$), và một số nguyên $n > 0$ sao cho, với mọi $y \in B$, ta có $T_n(y) \subset U$; để làm điều này, có thể sử dụng định lý Baire.)