Exercice 5, § 1

Soit $X$ le sous-ensemble du plan $\mathbf{R}^2$ réunion de la droite $D = \{0\} \times \mathbf{R}$ et de l’ensemble des points $(1/n, k/n^2)$, où $n$ parcourt l’ensemble des entiers $> 0$ et $k$ l’ensemble $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels. a) Pour tout point $(0, y)$ de $D$ et tout entier $n > 0$, soit $T_n(y)$ l’ensemble des points $(u, v)$ de $X$ tels que $u \leqslant 1/n$ et $|v - y| \leqslant u$. Montrer que si l’on prend comme système fondamental de voisinages de chaque point $(0, y)$ de $D$ l’ensemble des $T_n(y)$ ($n > 0$), et comme système fondamental de voisinages de chacun des autres points de $X$ l’unique ensemble réduit à ce point, on définit sur $X$ une topologie $\mathscr{T}$ pour laquelle $X$ est un espace localement compact non paracompact. b) Soit $\alpha$ la fonction numérique sur $X$, égale à 0 dans $D$ et à $1/n^3$ en chacun des points $(1/n, k/n^2)$. Montrer que, pour toute partie compacte $K$ de $X$, $\sum_{x \in K} \alpha(x)$ est finie; soit $\mu$ la mesure positive sur $X$ définie par les masses $\alpha(x)$. Montrer que l’on a $\mu^*(D) = +\infty$ bien que $\alpha(x) = 0$ dans $D$.

(Si un ensemble ouvert U pour $\mathscr{T}$ contient D, montrer qu’il existe un intervalle $a \leq y \leq b$ sur D, non réduit à un point, un ensemble B partout dense (pour la topologie usuelle de $\mathbf{R}$) dans cet intervalle et un entier $n > 0$ tel que, pour tout $y \in B$, on ait $T_n(y) \subset U$; on utilisera pour cela le th. de Baire).