Bài tập 7, § 1

a) Cho $(\mu_n)$ là một dãy tăng các độ đo $\geq 0$ trên một không gian địa phương compact X; giả sử rằng dãy này bị chặn trên trong $\mathscr{M}_+(X)$ và ký hiệu $\mu$ là cận trên đúng của nó. Cho $f$ là một hàm $\geq 0$ xác định trên X và bằng không trên phần bù của một hợp đếm được các tập compact. Chứng minh rằng $\mu^*(f) = \sup_n \mu_n^*(f)$ (xem Bài tập 6 b)).

b) Cho X và $\mu$ là không gian địa phương compact và độ đo được xác định trong Bài tập 5. Cho $\alpha_n$ là hàm số bằng $\alpha$ (theo ký hiệu của Bài tập 5) tại mọi điểm $(1/m, k/m^2)$ sao cho $m \leq n$, và bằng 0 tại các điểm khác của X; cho $\mu_n$ là độ đo được xác định bởi các khối lượng $\alpha_n(x)$. Chứng minh rằng $\mu$ là cận trên đúng của dãy $(\mu_n)$ trong $\mathscr{M}_+(X)$ và rằng $\mu_n^*(D) = 0$ với mọi $n$, nhưng $\mu^*(D) = +\infty$.