Exercice 7, § 1

a) Soit $(\mu_n)$ une suite croissante de mesures $\geq 0$ sur un espace localement compact X; on suppose que cette suite est majorée dans $\mathscr{M}_+(X)$ et on désigne par $\mu$ sa borne supérieure. Soit $f$ une fonction $\geq 0$ définie dans X et nulle dans le complémentaire d’une réunion dénombrable d’ensembles compacts. Montrer que l’on a

(cf. exerc. 6 b)).

b) Soient X et $\mu$ l’espace localement compact et la mesure définis dans l’exerc. 5. Soit $\alpha_n$ la fonction numérique égale à $\alpha$ (notation de l’exerc. 5) pour tout point $(1/m, k/m^2)$ tel que $m \leq n$, et égale à 0 aux autres points de X; soit $\mu_n$ la mesure définie par les masses $\alpha_n(x)$. Montrer que $\mu$ est la borne supérieure de la suite $(\mu_n)$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ et que l’on a $\mu_n^*(D) = 0$ pour tout $n$, mais $\mu^*(D) = +\infty$.