Bài tập 10, § 7

a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff đầy đủ, $E'$ là đối ngẫu của nó, và ${E'}^* \supset E$ là đối ngẫu đại số của $E'$. Cho A là một tập con của E compact đối với tôpô yếu hơn $\sigma(E,E')$. Cho $x$ là một điểm của ${E'}^*$ thuộc bao đóng của bao lồi C của A đối với tôpô yếu $\sigma({E'}^*,E')$. Chứng minh rằng nếu $(x_n')$ là một dãy các điểm của $E'$ hội tụ đến $a' \in E'$ đối với tôpô yếu $\sigma(E',E)$, thì $\lim_{n \to \infty} \langle x, x_n' \rangle = \langle x, a' \rangle$. (Chú ý rằng $x$ là trọng tâm của một độ đo khối lượng 1 trên A, và áp dụng định lý Lebesgue.)

b) Suy ra từ a) rằng nếu tồn tại trong E một dãy các điểm trù mật đối với tôpô ban đầu, thì hạn chế của ánh xạ $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ lên mọi tập hợp cân bằng liên tục $H'$ của $E'$ là liên tục đối với tôpô yếu $\sigma(E',E)$ (chú ý rằng tôpô cảm sinh trên $H'$ bởi $\sigma(E',E)$ là mêtric hóa được). Suy ra rằng trong trường hợp này, tất yếu $x \in E$ (TVS, IV, §5, No. 5); nói cách khác, bao lồi đóng trong E của một tập hợp compact đối với tôpô yếu hơn lại compact đối với tôpô đó.

c) Mở rộng kết quả của b) đến trường hợp E là một không gian lồi địa phương Hausdorff quasi-đầy đủ bất kỳ (định lý Krein). (Trước hết rút gọn về trường hợp E đầy đủ bằng cách xét $\widehat{E}$; sau đó chú ý rằng theo định lý Eberlein (TVS, IV, §5, No. 3, Th. 1), chỉ cần chứng minh rằng mọi dãy $(x_n)$ các điểm của C có một điểm tụ trong E đối với $\sigma(E,E')$; điều này cho phép rút gọn về trường hợp tồn tại trong E một dãy trù mật đối với tôpô ban đầu.)