Exercice 10, § 7

a) Soient E un espace localement convexe séparé et complet, E' son dual, ${E'}^* \supset E$ le dual algébrique de E'. Soit A une partie de E compacte pour la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$. Soit $x$ un point de ${E'}^*$ adhérent à l’enveloppe convexe C de A, pour la topologie faible $\sigma({E'}^*, E')$. Montrer que si $(x'_n)$ est une suite de points de E' qui converge vers $a' \in E'$ pour la topologie faible $\sigma(E', E)$, on a $\lim_{n \to \infty} \langle x, x'_n \rangle = \langle x, a' \rangle$. (Remarquer que x est barycentre d’une mesure de masse 1 sur A, et appliquer le th. de Lebesgue.)

b) Déduire de a) que, lorsqu’il existe dans E une suite de points partout dense pour la topologie initiale, la restriction à toute partie équi-continue $H'$ de E' de l’application $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ est continue pour la topologie faible $\sigma(E', E)$ (remarquer que la topologie induite sur $H'$ par $\sigma(E', E)$ est métrisable). En déduire que dans ce cas, on a nécessairement $x \in E$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 3, exerc. 3); en d’autres termes, l’enveloppe convexe fermée dans E d’un ensemble compact pour la topologie affaiblie est encore compacte pour cette topologie.

c) Etendre le résultat de b) au cas où E est un espace localement convexe séparé et quasi-complet quelconque ("théorème de Krein"). (Se ramener d’abord au cas où E est complet, en considérant $\hat{E}$; remarquer ensuite qu’en vertu du th. d’Eberlein (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 15), il suffit de prouver que toute suite $(x_n)$ de points de C admet une valeur d’adhérence dans E pour $\sigma(E, E')$; cela permet de se ramener au cas où il existe dans E une suite partout dense pour la topologie initiale).