Bài tập 4, § 7

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, X một tập lồi compact trong E, $\mathscr{P}$ là tập hợp các hàm số hữu hạn liên tục và lồi trên X; $\mu \prec \nu$ ký hiệu quan hệ thứ tự trước được xác định trên $\mathscr{M}_+(X)$ bởi $\mathscr{P}$ (Bài tập 2).

a) Chứng minh rằng $\mu \prec \nu$ là một quan hệ thứ tự trên $\mathscr{M}_+(X)$ (sử dụng Bài tập 29 của TVS, II, §5) và rằng, với mọi $x \in X$, quan hệ $\varepsilon_x \prec \mu$ tương đương với việc nói rằng $\mu$ có khối lượng 1 và $x$ là trọng tâm của $\mu$. Với mọi độ đo cực đại $\mu$ (đối với quan hệ thứ tự trước đó) có khối lượng 1, do đó tồn tại duy nhất một $x \in X$ sao cho $\varepsilon_x \prec \mu$. Ngược lại, mọi $z \in X$ là trọng tâm của ít nhất một độ đo cực đại. Để $x \in X$ là một điểm cực biên của X, điều kiện cần và đủ là $\varepsilon_x$ là một độ đo cực đại.

b) Cho $\mu$ là một độ đo cực đại trên X, $f$ một hàm trong $\mathscr{C}_+(X)$. Chứng minh rằng với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một hàm lồi liên tục $g$ trên X sao cho $0 \leq g \leq f$ và $\mu(g) \geq \mu(f) - \varepsilon$ (sử dụng các Bài tập 3 b) và 2 d)). Từ đó, suy ra rằng giá của $\mu$ được chứa trong bao đóng của tập hợp các điểm cực biên của X.

c) Cho $\mu$ là một độ đo cực đại trên X, $(f_n)_{n \geq 1}$ một dãy giảm các hàm trong $\mathscr{C}_+(X)$. Chứng minh rằng nếu, với mọi điểm cực biên $x \in X$, dãy $(f_n(x))$ tiến tới 0, thì $\lim_{n \to \infty} \mu(f_n) = 0$ (sử dụng b) để xây dựng một dãy giảm $(g_n)$ các hàm lồi liên tục sao cho $0 \leq g_n \leq f_n$ và $\mu(g_n) \geq \mu(f_n) - \varepsilon$ với mọi $n$, và chứng minh rằng dãy $(g_n(y))$ tiến tới 0 với mọi $y \in X$).

d) Suy ra từ c) rằng nếu $A \subset X$ không chứa điểm cực biên nào và là hợp của một dãy $(K_n)$ các tập con compact của X, mỗi tập trong đó là giao của một dãy đếm được các tập mở trong X, thì $\mu(A) = 0$ với mọi độ đo cực đại $\mu$.

e) Cho $\mathscr{A}$ là không gian vectơ của các hàm liên tục trên X là các hạn chế xuống X của các hàm affine tuyến tính liên tục trên E. Quan hệ $\lambda \prec \mu$ kéo theo rằng $\lambda(h) = \mu(h)$ với mọi hàm $h \in \mathscr{A}$; với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, bao dưới $S(f)$ của các hàm $h \in \mathscr{A}$ sao cho $f \leq h$ cũng là bao dưới của các hàm $g \in -\mathscr{P}$ sao cho $f \leq g$. Với mọi $x \in X$, quan hệ $\varepsilon_x \prec \mu$ tương đương với quan hệ $h(x) = \langle h, \mu \rangle$ với mọi $h \in \mathscr{A}$; các điểm cực biên của X trùng với các điểm cực biên-$\mathscr{A}$. Nếu $f \in \mathscr{P}$ thì, với mọi $x \in X$,

(*)

(dùng Bài tập 2 b)). Công thức này không còn nhất thiết đúng nếu chỉ giả thiết rằng $f$ là lồi và nửa liên tục trên X (với các ký hiệu của Bài tập 1 b), xét hàm $f$ bằng 1 trên ảnh của I trong K, và bằng 0 ở mọi nơi khác.

f) Chứng minh rằng công thức (*) lại đúng khi ở vế thứ hai người ta chỉ giới hạn vào các độ đo rời rạc $\mu$ có $x$ làm trọng tâm.