Exercice 4, § 7

Soient E un espace localement convexe séparé, X un ensemble convexe compact dans E, $\mathscr{P}$ l’ensemble des fonctions numériques finies continues et convexes dans X; on désigne par $\mu < \nu$ la relation de préordre définie sur $\mathscr{M}_+(X)$ par $\mathscr{P}$ (exerc. 2).

a) Montrer que $\mu < \nu$ est une relation d’ordre sur $\mathscr{M}_+(X)$ (utiliser l’exerc. 29 de Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 5) et que, pour tout $x \in X$, la relation $\varepsilon_x < \mu$ équivaut à dire que $\mu$ est de masse 1 et que $x$ est le barycentre de $\mu$. Pour toute mesure maximale $\mu$ (pour la relation d’ordre précédente) de masse 1, il existe donc un $x \in X$ et un seul tel que $\varepsilon_x < \mu$. Inversement, tout $z \in X$ est barycentre d’une mesure maximale au moins. Pour que $x \in X$ soit point extrémal de X, il faut et il suffit que $\varepsilon_x$ soit une mesure maximale.

b) Soient $\mu$ une mesure maximale sur X, $f$ une fonction de $\mathscr{C}_+(X)$. Pour tout $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe une fonction g continue et convexe dans X telle que $0 \leq g \leq f$ et $\mu(g) \geq \mu(f) - \varepsilon$ (utiliser les exerc. 3 b) et 2 d)). En déduire que le support de $\mu$ est contenu dans l’adhérence de l’ensemble des points extrémaux de X.

c) Soient $\mu$ une mesure maximale sur X, $(f_n)_{n \geq 1}$ une suite décroissante de fonctions de $\mathscr{C}_+(X)$. Montrer que si pour tout point extrémal $x \in X$, la suite $(f_n(x))$ tend vers 0, on a $\lim_{n \to \infty} \mu(f_n) = 0$ (utiliser b) pour construire une suite décroissante $(g_n)$ de fonctions continues convexes telles que $0 \leq g_n \leq f_n$ pour tout $n$, et $\mu(g_n) \geq \mu(f_n) - \varepsilon$, et montrer que la suite $(g_n(y))$ tend vers 0 pour tout $y \in X$.

d) Déduire de c) que si $A \subset X$ ne contient aucun point extrémal et est réunion d’une suite $(K_n)$ de parties compactes de X, dont chacune est intersection dénombrable d’ensembles ouverts de X, alors $\mu(A) = 0$ pour toute mesure maximale $\mu$.

e) Soit $\mathscr{A}$ l’espace vectoriel des fonctions continues dans X qui sont restrictions à X de fonctions linéaires affines continues dans E. La relation $\lambda < \mu$ entraîne $\lambda(h) = \mu(h)$ pour toute fonction $h \in \mathscr{A}$; pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, l’enveloppe inférieure $S(f)$ des fonctions $h \in \mathscr{A}$ telles que $f \leq h$ est aussi l’enveloppe inférieure des fonctions $g \in -\mathscr{P}$ telles que $f \leq g$. Pour tout $x \in X$, la relation $\varepsilon_x < \mu$ est équivalente à la relation $h(x) = \langle h, \mu \rangle$ pour toute $h \in \mathscr{A}$; les points extrémaux de X sont identiques aux points $\mathscr{A}$-extrémaux. Si $f \in \mathscr{P}$, on a, pour tout $x \in X$,

(*)

(utiliser l’exerc. 2 b)). Cette formule n’est plus nécessairement exacte si l’on suppose seulement que $f$ est convexe et semi-continue supérieurement dans X (avec les notations de l’exerc. 1 b), considérer la fonction $f$ égale à 1 dans l’image de I dans K, à 0 ailleurs).

$f$ ) Montrer que la formule (*) est encore valable lorsque dans le second membre on se limite aux mesures $\mu$ discrètes ayant $x$ pour barycentre.