Bài tập 5, § 7

Các ký hiệu là các ký hiệu của Bài tập 4 e), gọi $\mathscr{A}'$ là đối ngẫu của không gian định chuẩn $\mathscr{A}$, được trang bị cấu trúc cấp suy ra từ cấu trúc của $\mathscr{A}$ (Chương II, §2). Mặt khác, ký hiệu C là nón lồi với đỉnh 0 sinh bởi $X \times \{1\}$ trong không gian $E \times \mathbf{R}$.

a) Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: (i) Mọi điểm $x \in X$ là trọng tâm của một đo cực đại duy nhất $\beta_x$ có khối lượng 1 trên $X$. (ii) Không gian vectơ $F$ sinh bởi $C$ là một dàn đối với cấu trúc cấp có $C$ là tập hợp các phần tử $\geqslant 0$ (nói cách khác, $X$ là một simplex (TVS, II, §2, Bài tập 41)). (iii) Với mọi hàm $f \in \mathscr{P}$, $S(f)$ vừa lõm vừa lồi. (iv) Nếu $\mu$ và $\nu$ là hai độ cực đại sao cho $\mu(h) = \nu(h)$ với mọi $h \in \mathscr{A}$, thì $\mu = \nu$. (v) Không gian vectơ $\mathscr{A}'$ là một không gian Riesz. (vi) Nếu $f$ và $g$ là hai hàm trong $\mathscr{P}$, thì $S(f + g) = S(f) + S(g)$. (Trước hết chứng minh rằng (i) suy ra tính chất sau: (vii) Ánh xạ $x \mapsto \beta_x$ chỉ có thể được mở rộng theo một cách duy nhất thành một ánh xạ tuyến tính song ánh của $F$ lên không gian con của $\mathscr{M}(X)$ sinh bởi các độ cực đại, và ánh xạ này biến đổi $C$ thành nón các độ cực đại. Sau đó suy ra (ii) từ (vii), dùng Bài tập 2 e). Để suy ra (iii) từ (ii), dùng bổ đề phân tích trong không gian Riesz $F$ và Bài tập 4 f). Để suy ra (iv) từ (iii), dùng sự kiện rằng nếu $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ vừa lõm vừa lồi, thì tập hợp các $h \in \mathscr{A}$ sao cho $h(x) > g(x)$ với mọi $x \in X$ là một tập có hướng giảm (TVS, II, §5, Mệnh đề.