Exercice 5, § 7

Les notations étant celles de l’exerc. 4 e), on désigne par $\mathscr{A}'$ le dual de l’espace normé $\mathscr{A}$, muni de la structure d’ordre déduite de celle de $\mathscr{A}$ (chap. II, § 2). On désigne d’autre part par C le cône convexe de sommet 0 engendré par $X \times \{1\}$ dans l’espace $E \times \mathbf{R}$.

a) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) Tout point $x \in X$ est barycentre d’une mesure maximale unique $\beta_x$ de masse 1 sur X. (ii) L’espace vectoriel F engendré par C est réticulé pour la structure d’ordre ayant C pour ensemble des éléments $\geqslant 0$ (autrement dit, X est un simplexe (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 2, exerc. 41)). (iii) Pour toute fonction $f \in \mathscr{P}$, $S(f)$ est à la fois concave et convexe. (iv) Si $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures maximales telles que $\mu(h) = \nu(h)$ pour tout $h \in \mathscr{A}$, on a $\mu = \nu$. (v) L’espace vectoriel $\mathscr{A}'$ est un espace de Riesz. (vi) Si $f, g$ sont deux fonctions de $\mathscr{P}$, on a $S(f + g) = S(f) + S(g)$. (Prouver d’abord que (i) entraîne la propriété suivante: (vii) L’application $x \mapsto \beta_x$ se prolonge d’une seule manière en une application linéaire bijective de F sur le sous-espace de $\mathscr{M}(X)$ engendré par les mesures maximales, et cette application transforme C en le cône des mesures maximales.

Déduire alors (ii) de (vii) en utilisant l’exerc. 2 e). Pour déduire (iii) de (ii), utiliser le lemme de décomposition dans l’espace de Riesz F et l’exerc. 4 f). Pour déduire (iv) de (iii), utiliser le fait que si $g \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ est à la fois concave et convexe, l’ensemble des $h \in \mathscr{A}$ tels que $h(x) > g(x)$ pour tout $x \in X$ est filtrant décroissant (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 5, prop. 6) et a g pour enveloppe inférieure ; appliquer alors l’exerc. 4 e). Pour déduire (v) de (iv), observer que $\mathscr{A}'$ s’identifie au sous-espace de $\mathscr{M}(X)$ engendré par les mesures maximales, à l’aide de l’exerc. 4 e). Pour déduire (vi) de (v), appliquer le lemme de décomposition dans l’espace de Riesz $\mathscr{A}'$ et l’exerc. 4 f). Enfin, pour déduire (i) de (vi), considérer l’application $f \mapsto S(f)(x)$ pour $f \in \mathscr{P}$ et $x \in X$, et utiliser l’exerc. 4 e)).

b) Lorsque les conditions de a) sont vérifiées, montrer que, pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, l’application $x \mapsto \beta_x(f)$ est adhérente, pour la topologie de la convergence uniforme dans X, à l’ensemble des fonctions bornées dans X et différences de deux fonctions semi-continues supérieurement (utiliser le fait que $\mathscr{P}$ est total dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$); par suite cette application est mesurable pour toute mesure sur X. \* Pour toute mesure positive $\mu$ sur X, l’unique mesure maximale $\nu > \mu$ est donnée par $\nu = \int \beta_x d\mu(x)$ (Cf. chap. V).*

c) Lorsque les conditions de a) sont vérifiées et que X est en outre métrisable, montrer que pour tout $x \in X$, $\beta_x$ est la seule mesure positive $\mu$ de masse 1, de barycentre $x$ et telle que $\mu(X - L) = 0$, L étant l’ensemble $\mathrm{Ch}_\mathscr{A}(X)$ des points extrémaux (raisonner comme dans le th. 1).

d) Lorsque les conditions de a) sont vérifiées, montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: $\alpha)$ L’ensemble $L = \mathrm{Ch}_\mathscr{A}(X)$ est fermé, autrement dit

$\beta)$ Pour toute fonction $f \in \mathscr{P}$, la restriction à $\overline{L}$ de $S(f)$ est continue. $\gamma)$ Pour toute fonction $f \in \mathscr{P}$, la fonction $S(f)$ est continue dans X. $\delta)$ L’application $x \mapsto \beta_x$ de X dans $\mathscr{M}_+(X)$ (muni de la topologie vague) est continue.

(Pour montrer que $\alpha$) entraîne $\beta)$, remarquer que $\beta_x = \varepsilon_x$ dans L. Pour prouver que $\beta)$ entraîne $\gamma)$, utiliser le fait que $S(f)$ est l’enveloppe inférieure d’un ensemble filtrant décroissant de fonctions de $\mathscr{A}$ (Esp. vect. top., chap. II, 2e éd., § 5, prop. 6), le th. de Dini et l’exerc. 3 d) appliqué aux fonctions de $\mathscr{A}$. Pour prouver que $\gamma)$ entraîne $\delta)$, utiliser l’exerc. 4 e). Enfin, pour voir que $\delta)$ entraîne $\alpha)$, utiliser l’exerc. 4 a).)