Bài tập 7, § 7

Cho $Y$ là một không gian compact khác rỗng, $\mathscr{R}$ là một không gian con tuyến tính của $\mathscr{C}(Y; \mathbf{R})$ chứa các hàm hằng, tách các điểm của $Y$ và có thứ tự dàn (nói cách khác, là một không gian Riesz).

a) Cho $\mathscr{N}$ là một không gian con cô lập cực đại của $\mathscr{R}$ (Ch. II, §1, Bài tập 4); chứng minh rằng tồn tại một và chỉ một điểm $y_0$ sao cho dạng tuyến tính dương $\varphi : f \mapsto f(y_0)$ trên $\mathscr{R}$ là thuộc dàn (Ch. II, §2, Bài tập 5 b)) và $\mathscr{N} = \varphi^{-1}(0)$. (Để thấy rằng tồn tại ít nhất một điểm của $Y$ tại đó tất cả các hàm $f \geq 0$ thuộc $\mathscr{N}$ đều bằng không, hãy lập luận bằng phản chứng, bằng cách chỉ ra rằng trong trường hợp ngược lại, có tính đến tính compact của Y và định nghĩa của quan hệ thứ tự trong $\mathscr{R}$, ta sẽ có $\mathscr{N} = \mathscr{R}$. Để chỉ ra rằng tập hợp $Z(\mathscr{N})$ các điểm của Y tại đó tất cả các hàm trong $\mathscr{N}$ đều bằng không thu gọn thành một điểm duy nhất, hãy sử dụng sự kiện rằng $\mathscr{N}$ là một siêu phẳng trong $\mathscr{R}$ (Ch. II, §2, Bài tập 5) và sự kiện rằng $\mathscr{R}$ tách các điểm của Y và chứa các hàm hằng.)

b) Dưới các giả thiết của a), chứng minh rằng $y_0 \in \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$. (Đặt $S = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$, chú ý rằng không gian con $\mathscr{R}'$ của $\mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ tạo bởi các hạn chế lên S của các hàm trong $\mathscr{R}$ là đẳng cấu chính tắc với $\mathscr{R}$ như một không gian vectơ có thứ tự (Bài tập 6 c)) và rằng, bằng đẳng cấu nghịch đảo với $f \mapsto f|S$, dạng tuyến tính dương $f \mapsto f(y_0)$ cho một dạng tuyến tính dương thuộc dàn trên $\mathscr{R}'$; sau đó áp dụng a) cho $\mathscr{R}'$.)

c) Với mọi không gian con cô lập $\mathscr{N}_0 \neq \mathscr{R}$, chứng minh rằng tồn tại một không gian con cô lập cực đại $\mathscr{N} \supset \mathscr{N}_0$. (Sử dụng sự kiện rằng nếu một không gian con cô lập chứa một hàm hằng $\neq 0$, thì nó bằng $\mathscr{R}$.)

d) Cho Z là hợp của các tập hợp $Z(\mathscr{N})$ (mỗi tập thu gọn thành một điểm) khi $\mathscr{N}$ chạy qua tập hợp các không gian con cô lập cực đại của $\mathscr{R}$; chứng minh rằng $Z = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$. (Trước hết chứng minh rằng Z là đóng, bằng cách chú ý rằng nếu $y \notin Z$ thì dạng tuyến tính $f \mapsto f(y)$ trên $\mathscr{R}$ không thuộc dàn, do đó (sử dụng Ch. II, §2, Bài tập 5 b)) dạng tuyến tính $f \mapsto f(y')$ cũng không thuộc dàn đối với mọi điểm $y'$ đủ gần $y$. Tiếp theo, sử dụng Mệnh đề 7 của No. 3, bằng cách chứng minh rằng mọi hàm $f_0 \in \mathscr{R}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\alpha$ của nó trong Y tại ít nhất một điểm của Z; để làm điều này, đặt $M = f_0^{-1}(\alpha)$, xét không gian con $\mathscr{N}_0$ của các hàm $f \in \mathscr{R}$ có dạng $f_1 - f_2$ với $f_1 \geq 0, f_2 \geq 0, f_1$ và $f_2$ bằng không trên M; chứng minh rằng $\mathscr{N}_0$ là cô lập và sử dụng c).)