Exercice 7, § 7

Soient $Y$ un espace compact non vide, $\mathscr{R}$ un sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(Y ; \mathbf{R})$ qui contient les constantes, sépare les points de $Y$ et est réticulé (autrement dit, un espace de Riesz).

a) Soit $\mathscr{N}$ un sous-espace isolé maximal de $\mathscr{R}$; montrer qu’il existe un point et un seul $y_0$ tel que la forme linéaire positive $\varphi : f \mapsto f(y_0)$ sur $\mathscr{R}$ soit réticulante (chap. II, § 2, exerc. 5 b)) et que $\mathscr{N} = \varphi^{-1}(0)$. (Pour voir qu’il existe un point au moins de $Y$ où s’annulent toutes les fonctions $f \geq 0$ appartenant à $\mathscr{N}$, raisonner par l’absurde en montrant que, dans le cas contraire, compte tenu de la compacité de $Y$ et de la définition de la relation d’ordre dans $\mathscr{R}$, on aurait $\mathscr{N} = \mathscr{R}$. Pour montrer que l’ensemble $Z(\mathscr{N})$ des points de $Y$ où s’annulent toutes les fonctions de $\mathscr{N}$ est réduit à un seul point, utiliser le fait que $\mathscr{N}$ est un hyperplan dans $\mathscr{R}$ (chap. II, § 2, exerc. 5) et le fait que $\mathscr{R}$ sépare les points de $Y$ et contient les constantes.)

b) Sous les hypothèses de a), montrer que l’on a $y_0 \in \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$. (Si l’on pose $S = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$, remarquer que le sous-espace $\mathscr{R}'$ de $\mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$ formé des restrictions à $S$ des fonctions de $\mathscr{R}$ est canoniquement isomorphe à $\mathscr{R}$ en tant qu’espace vectoriel ordonné (exerc. 6 c)), et qu’au moyen de l’isomorphisme réciproque de $f \mapsto f|S$, la forme linéaire positive $f \mapsto f(y_0)$ donne une forme linéaire positive réticulante sur $\mathscr{R}'$; appliquer ensuite a) à $\mathscr{R}'$.

c) Pour tout sous-espace isolé $\mathscr{N}_0 \neq \mathscr{R}$, montrer qu’il existe un sous-espace isolé maximal $\mathscr{N} \supset \mathscr{N}_0$. (Utiliser le fait que si un sous-espace isolé contient une fonction constante $\neq 0$, il est égal à $\mathscr{R}$.)

d) Soit $Z$ la réunion des ensembles $Z(\mathscr{N})$ (réduits chacun à un point) lorsque $\mathscr{N}$ parcourt l’ensemble des sous-espaces isolés maximaux de $\mathscr{R}$; montrer que $Z = \check{S}_{\mathscr{R}}(Y)$. (Prouver d’abord que $Z$ est fermé, en notant que si $y \notin Z$, la forme linéaire $f \mapsto f(y)$ sur $\mathscr{R}$ n’est pas réticulante, et par suite (en utilisant le chap. II, § 2, exerc. 5 b)) qu’il en est de même de la forme linéaire $f \mapsto f(y')$ pour tous les points $y'$ assez voisins de $y$. Utiliser ensuite la prop. 7 du n° 3, en montrant que toute fonction $f_0 \in \mathscr{R}$ atteint sa borne inférieure $\alpha$ dans $Y$ en un point de $Z$ au moins; pour cela, en posant $M = f_0^{-1}(\alpha)$, on considérera le sous-espace $\mathscr{N}_0$ des fonctions $f \in \mathscr{R}$ de la forme $f_1 - f_2$, avec $f_1 \geqslant 0, f_2 \geqslant 0, f_1$ et $f_2$ s’annulant dans $M$; prouver que $\mathscr{N}_0$ est isolé et utiliser c).