Bài tập 8, § 7

Các ký hiệu và giả thiết tổng quát vẫn là các ký hiệu và giả thiết của Bài tập 6, đặt $S = \check{S}_{\mathscr{H}}(X)$. Một hàm $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ được gọi là $\mathscr{H}\text{-resolvent}$ nếu tồn tại một hàm $g \in \mathscr{H}^c$ sao cho $f = g|S$ (khi đó hàm này là duy nhất).

a) Chứng minh rằng các điều kiện sau đây đối với một hàm $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ là tương đương: (i) $f$ là $\mathscr{H}\text{-resolvent}$. (ii) Với mọi $x \in X$, $\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$. (iii) Với mọi $x \in X$ và mọi cặp độ đo $\mu_1, \mu_2$ trong $\mathscr{M}_x^S$, ta có $\int f d\mu_1 = \int f d\mu_2$. (Hãy sử dụng Bài tập 6 b) và c).)

b) Chứng minh rằng các tính chất sau đây là tương đương: (i) Mọi hàm $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ đều là $\mathscr{H}\text{-resolvent}$. (ii) Với mọi $x \in X$ và mọi hàm $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$, $\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$. (iii) Tập hợp $\mathscr{M}_x^S$ thu gọn thành một phần tử duy nhất. (iv) Tập hợp $\mathscr{H}^c$ có thứ tự dàn. (v) Với mọi hàm $u \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ (Bài tập 6 g)), tồn tại một cận dưới lớn nhất $h_u$ của $u$ trong $\mathscr{H}^c$. (Để chứng minh (iv) kéo theo (i), áp dụng Bài tập 7 d) cho $\mathscr{H}^c$, chứng minh rằng với mọi điểm $s \in S$, dạng tuyến tính $h \mapsto h(s)$ là dạng dàn trong $\mathscr{H}^c$; sau đó sử dụng định lý Stone và Bài tập 6 c). Để thấy rằng (i) kéo theo (v), chú ý rằng $\mathscr{H}^c \subset \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ và xét hàm duy nhất $h_u \in \mathscr{H}^c$ sao cho $h_u|S = u|S$. Để thấy rằng (v) kéo theo (iv), chú ý rằng nếu $h \in \mathscr{H}^c$ thì $-h^- = \inf(h, 0) \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$, và áp dụng (v) cho $u = -h^-$.))

c) Nếu các điều kiện của b) được thỏa mãn và nếu $\gamma_x$ là phần tử duy nhất của $\mathscr{M}_x^S$, chứng minh rằng ánh xạ $x \mapsto \gamma_x$ từ X vào $\mathscr{M}_+(X)$ (được trang bị tôpô hội tụ mơ hồ) là liên tục; từ đó, suy ra rằng khi đó ta có $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X) = \check{S}_{\mathscr{H}}(X)$ (chú ý rằng $\gamma_x = \varepsilon_x$ trong $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$).

d) Để mọi hàm $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ là hạn chế trên S của một hàm $h \in \mathscr{H}$, điều kiện cần và đủ là $\mathscr{H}$ đóng trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ và có thứ tự dàn.