Exercice 8, § 7

Les notations et hypothèses générales étant celles de l’exerc. 6, on pose $S = \check{S}_{\mathscr{H}}(X)$. On dit qu’une fonction $f \in \mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$ est $\mathscr{H}$-résolutive s’il existe une fonction $g \in \mathscr{H}^c$ telle que $f = g|S$ (cette fonction est alors unique).

a) Montrer que les conditions suivantes, pour une fonction $f \in \mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$, sont équivalentes: (i) $f$ est $\mathscr{H}$-résolutive. (ii) Pour tout $x \in X$, on a $\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$. (iii) Pour tout $x \in X$ et tout couple de mesures $\mu_1, \mu_2$ dans $\mathscr{M}_x^S$, on a $\int f d\mu_1 = \int f d\mu_2$. (Utiliser l’exerc. 6 b) et c).)

b) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: (i) Toute fonction $f \in \mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$ est $\mathscr{H}$-résolutive. (ii) Pour tout $x \in X$ et toute fonction $f \in \mathscr{C}(S ; \mathbf{R})$, on a $\underline{H}_x^S(f) = \overline{H}_x^S(f)$. (iii) L’ensemble $\mathscr{M}_x^S$ est réduit à un seul élément. (iv) L’ensemble $\mathscr{H}^c$ est réticulé. (v) Pour toute fonction $u \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ (exerc. 6 g)), il existe une plus grande minorante $h_u$ de $u$ dans $\mathscr{H}^c$. (Pour montrer que (iv) entraîne (i), appliquer à $\mathscr{H}^c$ l’exerc. 7 d), prouvant que pour tout point $s \in S$, la forme linéaire $h \mapsto h(s)$ est réticulante dans $\mathscr{H}^c$; puis utiliser le th. de Stone et l’exerc. 6 c). Pour voir que (i) entraîne (v), observer que $\mathscr{H}^c \subset \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ et considérer l’unique fonction $h_u \in \mathscr{H}^c$ telle que $h_u|S = u|S$. Pour voir que (v) entraîne (iv), noter que si $h \in \mathscr{H}^c$, on a $-h^- = \inf (h, 0) \in \mathscr{E}_{\mathscr{H}}$ et appliquer (v) à $u = -h^-$.)

c) Si les conditions de b) sont satisfaites, et si $\gamma_x$ est l’unique élément de $\mathscr{M}_x^S$, montrer que l’application $x \mapsto \gamma_x$ de $X$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ (muni de la topologie vague) est continue; en déduire que l’on a alors

(remarquer que $\gamma_x = \varepsilon_x$ dans $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$).

d) Pour que toute fonction $f \in \mathscr{C}(S; \mathbf{R})$ soit la restriction à S d’une fonction $h \in \mathscr{H}$, il faut et il suffit que $\mathscr{H}$ soit fermé dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ et réticulé.