Bài tập 9, § 7

Cho Y là không gian tôpô có tập nền là tích $I \times \{-1, 0, 1\}$ trong $\mathbf{R}^2$, trong đó $I = [0, 1]$; với mọi $a \in I$ và mọi $\varepsilon > 0$, gọi $U_{a, \varepsilon}$ là tập hợp các $(x, y) \in Y$ sao cho $|x - a| \leq \varepsilon$ và $(x, y)$ phân biệt với $(a, 1)$ và $(a, -1)$; các tập $\{(x, y)\}$ với $y \neq 0$ và $x \in I$ cùng với các tập $U_{a, \varepsilon}$ tạo thành một cơ sở cho một tôpô trên Y mà đối với nó Y là một không gian compact không mêtric (xem GT, IX, §2, Bài tập 13 d)). Ký hiệu X là không gian tổng tôpô của Y và một tập hợp thu gọn về một điểm $\omega$. Gọi $\mathscr{H}$ là tập hợp các hàm số hữu hạn liên tục $h$ trên X sao cho

với mọi $x \in I$, và $h(\omega) = \int_0^1 h(x,0)\, dx$. Chứng minh rằng $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ gồm các điểm $(x,y)$ sao cho $y \neq 0$ và $x \in I$, nhưng không tồn tại độ đo dương $\mu$ có khối lượng 1 trên X sao cho $h(\omega) = \mu(h)$ với mọi $h \in \mathscr{H}$, và $\mu(X - \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)) = 0$.