Exercice 9, § 7

Soit Y l’espace topologique dont l’ensemble sous-jacent est le produit $I \times \{-1, 0, 1\}$ dans $\mathbf{R}^2$, où $I = \{0, 1\}$; pour tout $a \in I$ et tout $\varepsilon > 0$, soit $U_{a,\varepsilon}$ l’ensemble des $(x, y) \in Y$ tels que $|x - a| \leq \varepsilon$ et que $(x, y)$ soit distinct de $(a, 1)$ et de $(a, -1)$; les ensembles $\{(x, y)\}$ pour $y \neq 0$ et $x \in I$, et les ensembles $U_{a,\varepsilon}$ forment une base d’une topologie sur Y pour laquelle Y est un espace compact non métrisable (cf. Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 2, exerc. 13 d)). On désigne par X l’espace somme topologique de Y et d’un ensemble réduit à un point $\omega$. Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des fonctions numériques finies continues dans X et telles que

pour tout $x \in I$, et $h(\omega) = \int_0^1 h(x, 0) \, dx$. Montrer que $\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)$ est formé des points $(x, y)$ tels que $y \neq 0$ et $x \in I$, mais qu’il n’existe aucune mesure positive $\mu$ de masse 1 sur X telle que $h(\omega) = \mu(h)$ pour tout $h \in \mathscr{H}$, et $\mu(X - \mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X)) = 0$.