Bài tập 3, § 1

a) Cho $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các hàm số $\geqslant 0$, có hướng đối với quan hệ $\leqslant$, sao cho ánh xạ $t \mapsto (f_\alpha(t))$ từ $T$ vào $\mathbf{R}^A$ là $\mu$-đo được. Gọi $f$ là bao trên của họ $(f_\alpha)$. Khi đó $f$ là $\mu$-đo được và

(1)

b) Cho $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các hàm số $\geqslant 0$ xác định trên $T$ và có tính chất sau: với mọi tập compact $K$ của $T$ và mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập compact $K' \subset K$ sao cho $\mu(K - K') \leqslant \varepsilon$ và sao cho các hạn chế lên $K'$ của tất cả các hàm $f_\alpha$ đều nửa liên tục dưới. Gọi $f$ là bao trên của họ $(f_\alpha)$. Chứng minh rằng $f$ là đo được và thỏa mãn quan hệ (1).

Hãy cho một ví dụ về một ánh xạ $t \mapsto (f_\alpha(t))$, thỏa mãn điều kiện trên, nhưng không $\mu$-đo được.