Exercice 3, § 1

a) Soit $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de fonctions numériques $\geqslant 0$, filtrante pour la relation $\leqslant$, et telle que l’application $t \mapsto (f_\alpha(t))$ de $T$ dans $\mathbf{R}^A$ soit $\mu$-mesurable. Soit $f$ l’enveloppe supérieure de la famille $(f_\alpha)$. Alors $f$ est $\mu$-mesurable et on a

b) Soit $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille de fonctions numériques $\geqslant 0$ définies dans $T$ et ayant la propriété suivante : pour toute partie compacte $K$ de $T$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K' \subset K$ tel que $\mu(K - K') \leqslant \varepsilon$ et que les restrictions à $K'$ de toutes les fonctions $f_\alpha$ soient semi-continues inférieurement. Soit $f$ l’enveloppe supérieure de la famille $(f_\alpha)$. Montrer que $f$ est mesurable et vérifie la relation (1).

Donner un exemple d’application $t \mapsto (f_\alpha(t))$ satisfaisant à la condition ci-dessus et qui ne soit pas $\mu$-mesurable.