Bài tập 4, § 1

Cho T và $\mu$ là không gian compact địa phương và độ đo được định nghĩa trong Bài tập 5 của Ch. IV, §1.

a) Chứng minh rằng $\mu$ là cận trên đúng của một dãy các độ đo có giá hữu hạn, nhưng $\mu^* \neq \mu^*$, và rằng $\mu$ không điều hòa. Từ đó, suy ra rằng Mệnh đề 11 trở thành sai khi ký hiệu $\int^*$ trong đó được thay bằng $\int^*$, ngay cả khi tập hợp A là đếm được.

b) Với mọi số thực $y$, cho $f_y$ là hàm đặc số của tập hợp chỉ gồm điểm $(0, y)$ của T. Chứng minh rằng ánh xạ $t \mapsto (f_y(t))_{y \in \mathbf{R}}$ là $\mu$-đo được, nhưng nếu $f = \sup_{y \in \mathbf{R}} f_y$ thì $\mu^*(f) = +\infty$ và $\sup_{y \in \mathbf{R}} \mu^*(f_y) = 0$.