Exercice 4, § 1

Soient $T$ et $\mu$ l’espace localement compact et la mesure définis dans l’exerc. 5 du chap. IV, 2e éd., § 1.

a) Montrer que $\mu$ est la borne supérieure d’une suite de mesures de supports finis, mais qu’on a $\mu^* \neq \mu^*$, et que $\mu$ n’est pas modérée. En déduire que la prop. 11 devient fausse lorsqu’on y remplace le symbole $\int^\bullet$ par $\int^*$, même lorsque l’ensemble $A$ est dénombrable.

b) Pour tout nombre réel $y$, soit $f_y$ la fonction caractéristique de l’ensemble réduit au point $(0, y)$ de $T$. Montrer que l’application $t \mapsto (f_y(t))_{y \in \mathbf{R}}$ est $\mu$-mesurable, mais que, si $f = \sup_{y \in \mathbf{R}} f_y$, on a $\mu^*(f) = +\infty$ et $\sup_{y \in \mathbf{R}} \mu^*(f_y) = 0$.