Bài tập 5, § 1

Cho $(\mu_n)$ là một dãy các độ đo dương trên T hội tụ quasi-mạnh đến $\mu$ trong $\mathscr{M}(T)$ (Ch. III, §1, Bài tập 8).

a) Chứng minh rằng nếu một ánh xạ $f$ của T vào một không gian tôpô G là đo được theo $\mu_n$ với mọi $n$, thì nó đo được theo $\mu$ (sử dụng Bài tập 6 b) của Ch. IV, §1).

b) Cho $f$ là một ánh xạ của T vào một không gian Banach F, là khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với $\mu_n$ với mọi $n$. Chứng minh rằng nếu dãy $(\mu_n^* (|f|))$ bị chặn, thì $f$ là khả tích theo nghĩa thiết yếu đối với $\mu$ (Bài tập 2). Chứng minh bằng một ví dụ rằng không nhất thiết có $\int f \, d\mu = \lim_{n \to \infty} \int f \, d\mu_n$ (lấy $\mu_n$ là một độ đo điểm trên một không gian compact, sao cho $\lim \| \mu_n \| = 0$); tuy nhiên, hệ thức này đúng khi $f$ bị chặn và có giá compact.