Exercice 5, § 1

Soit $(\mu_n)$ une suite de mesures positives sur $T$, qui converge quasi-fortement vers $\mu$ dans $\mathscr{M}(T)$ (chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 8).

a) Montrer que, si une application $f$ de $T$ dans un espace topologique $G$ est $\mu_n$-mesurable pour tout $n$, elle est $\mu$-mesurable (utiliser l’exerc. 6b) du chap. IV, 2e éd., § 1).

b) Soit $\mathbf{f}$ une application de $T$ dans un espace de Banach $F$, qui est essentiellement $\mu_n$-intégrable pour tout $n$. Montrer que, si la suite $(\mu_n^*(|\mathbf{f}|))$ est bornée, $\mathbf{f}$ est essentiellement $\mu$-intégrable (exerc. 2). Montrer par un exemple que l’on n’a pas nécessairement $\int \mathbf{f} d\mu = \lim_{n \to \infty} \int \mathbf{f} d\mu_n$ (prendre pour $\mu_n$ une mesure ponctuelle sur un espace compact, telle que $\lim \| \mu_n \| = 0$); toutefois cette relation a lieu lorsque $\mathbf{f}$ est bornée et à support compact.