Bài tập 2, § 4

Cho X và $\nu$ là không gian compact địa phương và độ đo được xác định trong Bài tập 5 của Ch. IV, §1; cho $f$ là hàm đặc số của tập hợp D gồm các điểm $(0,y)$ trong X. Chứng minh rằng, trong hai trường hợp sau đây, $\nu = \int g(t) \varepsilon_{\pi(t)} d\mu(t)$ và

a) Lấy $T = X$, và lấy $\mu$ là độ đo được xác định bởi khối lượng $\log n / n^3$ tại mỗi điểm $(1/n, k/n^2)$. Lấy $\pi$ là ánh xạ đồng nhất, và $g$ được xác định bởi các điều kiện sau: $g$ là liên tục, nhưng không có $g(t) > 0$ với mọi $t \in T$.

b) Lấy T là tập hợp X được trang bị tôpô rời rạc, và lấy $\mu$ là độ đo được xác định bởi cùng các khối lượng như $\nu$. Lấy $g(t) = 1$ với mọi $t$, và lấy $\pi$ là ánh xạ đồng nhất: ánh xạ sau là liên tục, nhưng không thực sự.