Exercice 2, § 4

Soient X et $v$ l’espace localement compact et la mesure définis dans l’exerc. 5 du chap. IV, 2e éd., § 1 ; soit $f$ la fonction caractéristique de l’ensemble D des points $(0, y)$ dans X. Montrer que, dans les deux cas

suivants, on a $v = \int g(t) \varepsilon_{\pi(t)} \, d\mu(t)$ et

a) On prend $T = X$, et pour $\mu$ la mesure définie par la masse $\log n / n^3$ en chacun des points $(1/n, k/n^2)$. On prend pour $\pi$ l’application identique, et $g$ définie par les conditions suivantes:

$g$ est continue, mais on n’a pas $g(t) > 0$ pour tout $t \in T$.

b) On prend pour $T$ l’ensemble $X$ muni de la topologie discrète, et pour $\mu$ la mesure définie par les mêmes masses que $v$. On prend $g(t) = 1$ pour tout $t$, et pour $\pi$ l’application identique : cette dernière est continue, mais non propre.