Bài tập 2, § 7

Cho T là một không gian compact địa phương, X là một không gian con compact địa phương của T, và $\mu$ là một độ đo dương trên T; đặt $\nu = \varphi_X \cdot \mu = j(\mu_X)$ (j là đơn ánh chính tắc của X vào T). a) Chứng minh rằng mọi tập con không đáng kể theo $\mu_X$ của X đều không đáng kể theo $\nu$. b) Với mọi hàm số bằng số $g \geq 0$ xác định trên X, chứng minh rằng $\int^* g \, d\mu_X = \int_X^* g \, d\nu$ (sử dụng a), cũng như công thức (7) của §3). c) Cho g là một hàm xác định trên X, với các giá trị trong $\overline{\mathbf{R}}$ hoặc trong một không gian Banach, $g'$ là mở rộng của g lên T bằng 0 trên $T - X$. Để g là khả tích theo $\mu_X$, điều kiện cần và đủ là $g'$ khả tích theo $\nu$, trong trường hợp đó $\int g \, d\mu_X = \int_X g \, d\nu$ (sử dụng b)).