Exercice 2, § 7

Soient T un espace localement compact, X un sous-espace localement compact de T, $\mu$ une mesure positive sur T ; on pose

(j injection canonique de X dans T).

a) Montrer que toute partie $\mu_X$-négligeable de X est $\nu$-négligeable.

b) Pour toute fonction numérique $g \geq 0$ définie dans X, montrer que l’on a $\int^* g \, d\mu_X = \int_X^* g \, dv$ (utiliser a), ainsi que la formule (7) du § 3).

c) Soient g une fonction définie dans X, à valeurs dans $\bar{\mathbf{R}}$ ou dans un espace de Banach, $g'$ le prolongement de g à T, égal à 0 dans T – X. Pour que g soit $\mu_X$-intégrable, il faut et il suffit que $g'$ soit $\nu$-intégrable, et on a $\int g \, d\mu_X = \int_X g \, dv$ (utiliser b)).