Bài tập 9, § 7

Cho X, Y là hai không gian compact địa phương, $\pi : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ánh xạ $\pi$ được gọi là bảo toàn nếu, với mọi độ đo dương $\nu$ trên Y tập trung trên $\pi(X)$, tồn tại một độ đo dương $\mu$ trên X sao cho $\nu = \pi(\mu)$.

a) Cho X, Y, Z là ba không gian compact địa phương, $\pi : X \to Y$ và $\pi' : Y \to Z$ là hai ánh xạ liên tục; đặt $\pi'' = \pi' \circ \pi$ và giả sử rằng ánh xạ $\pi$ là toàn ánh. Chứng minh rằng nếu $\pi$ và $\pi'$ là bảo toàn, thì $\pi''$ cũng vậy; ngược lại, nếu $\pi''$ là bảo toàn thì $\pi'$ cũng vậy.

b) Giả sử rằng với mọi $y \in \pi(X)$ tồn tại một lân cận mở V của y trong Y sao cho, nếu $\pi_V : \pi^{-1}(V) \to V$ là ánh xạ trùng với $\pi$, thì tồn tại một tiết diện liên tục liên kết với $\pi_V$ (GT, I, §3, No. 5). Chứng minh rằng $\pi$ là bảo toàn (sử dụng Bài tập 8).

c) Cho Y là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, X là tập hợp Y được trang bị tôpô rời rạc, và $\pi : X \to Y$ là ánh xạ đồng nhất. Chứng minh rằng ánh xạ $\pi$ không là bảo toàn.