Exercice 9, § 7

Soient X, Y deux espaces localement compacts, $\pi : X \to Y$ une application continue. On dit que l’application $\pi$ est conservative si, pour toute mesure positive $\nu$ sur Y, concentrée sur $\pi(X)$, il existe une mesure positive $\mu$ sur X telle que $\nu = \pi(\mu)$. a) Soient X, Y, Z trois espaces localement compacts, $\pi : X \to Y$ et $\pi' : Y \to Z$ deux applications continues ; on pose $\pi'' = \pi' \circ \pi$, et on suppose l’application $\pi$ surjective. Montrer que si $\pi$ et $\pi'$ sont conservatives, il en est de même de $\pi''$; inversement, si $\pi''$ est conservative, il en est de même de $\pi'$. b) On suppose que pour tout $y \in \pi(X)$ il existe un voisinage ouvert V de y dans Y tel que, si $\pi_V : \bar{\pi}^1(V) \to V$ est l’application coïncidant avec $\pi$, il existe une section continue associée à $\pi_V$ (Top. gén., chap. I, 4e éd., § 3, n° 5). Montrer que $\pi$ est conservative (utiliser l’exerc. 8). c) Soient Y l’intervalle $[0, 1]$ de R, X l’ensemble Y muni de la topologie discrète, $\pi : X \to Y$ l’application identique. Montrer que l’application $\pi$ n’est pas conservative.