Bài tập 1, § 1

Xét các không gian compact địa phương T, T' đồng nhất với khoảng [0, 1], và các độ đo $\mu, \mu'$ trên T và T' tương ứng, đồng nhất với độ đo Lebesgue. Cho F là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn đếm được, được sắp xếp thành một dãy kép $(e_{mn})$; cho $F' = F$ là đối ngẫu của nó. Đặt $u_m(t) = e_{mn}$ với $(n-1)2^{-m} \leq t < n2^{-m}$ và $1 \leq n \leq 2^m$; đặt $f(t, t') = 2^m u_m(t)$ với $2^{-m} < t' \leq 2^{-m+1}$, và cuối cùng $f(t, 0) = 0$ và $f(1, t') = 0$. Chứng minh rằng $f$ là khả tích vô hướng đối với độ đo tích $\mu \otimes \mu'$, nhưng hàm $t' \mapsto f(t, t')$ không khả tích vô hướng đối với $\mu'$ với mọi $t \in T$.