Exercice 1, § 1

On considère les espaces localement compacts T, T' identiques à l'intervalle $\{0, 1\}$, les mesures $\mu, \mu'$ sur T et T' respectivement, identiques à la mesure de Lebesgue. Soit F un espace de Hilbert admettant une base orthonormale dénombrable, rangée en suite double $(\mathbf{e}_{mn})$; soit $F' = F$ son dual. On pose $\mathbf{u}_m(t) = \mathbf{e}_{mn}$ pour $(n-1)2^{-m} \leq t < n2^{-m}$ et $1 \leq n \leq 2^m$; on pose $\mathbf{f}(t, t') = 2^m \mathbf{u}_m(t)$ pour $2^{-m} < t' \leq 2^{-m+1}$, et enfin $\mathbf{f}(t, 0) = 0$ et $\mathbf{f}(1, t') = 0$. Montrer que $\mathbf{f}$ est scalairement intégrable pour la mesure produit $\mu \otimes \mu'$, mais que, pour aucun $t \in T$, la fonction $t' \to \mathbf{f}(t, t')$ n'est scalairement intégrable pour $\mu'$.