Bài tập 10, § 1

Cho $G, H$ là hai không gian Fréchet, $G_0$ (tương ứng $H_0$) là một tập con trù mật của $G$ (tương ứng $H$), và $t \mapsto \Phi_t$ là một ánh xạ của $T$ vào không gian $F = \mathscr{B}(G,H)$ gồm các dạng song tuyến tính liên tục trên $G \times H$, được trang bị tôpô hội tụ điểm. Giả sử rằng: $1^\circ$ với mọi cặp $(a,b) \in G_0 \times H_0$, $t \mapsto \Phi_t(a,b)$ là khả tích $\mu$-từng phần; $2^\circ$ nếu, với mọi cặp tập con bị chặn $A \subset G$, $B \subset H$, ta đặt $q_{A,B}(\Phi) = \sup_{(x,y) \in A \times B} |\Phi(x,y)|$ với mọi $\Phi \in \mathscr{B}(G,H)$, thì $\int^* q_{A,B}(\Phi_t)\,d\mu(t) < +\infty$. Dưới các điều kiện này, hãy chứng minh rằng $t \mapsto \Phi_t$ là khả tích $\mu$-từng phần theo vô hướng và $\int \Phi_t\,d\mu(t) \in F$ (sử dụng định lý Lebesgue, rút gọn về việc áp dụng Hệ quả 1 của Định lý 1). Trường hợp đặc biệt khi $H = \mathbf{R}$.