Exercice 10, § 1

Soient G, H deux espaces de Fréchet, $G_0$ (resp. $H_0$) une partie partout dense de G (resp. H), $t \to \Phi_t$ une application de T dans l’espace $F = \mathscr{B}(G, H)$ des formes bilinéaires continues sur $G \times H$, muni de la topologie de la convergence simple. On suppose que : 1° pour tout couple $(a, b) \in G_0 \times H_0$, $t \to \Phi_t(a, b)$ est essentiellement $\mu$-intégrable ; 2° si, pour tout couple de parties bornées $A \subset G$, $B \subset H$, on pose $q_{A,B}(\Phi) = \sup_{(x, y) \in A \times B} |\Phi(x, y)|$ pour toute $\Phi \in \mathscr{B}(G, H)$, on a $\int_{\ast}^{*} q_{A,B}(\Phi_t) d\mu(t) < + \infty$. Dans ces conditions, montrer que $t \to \Phi_t$ est scalairement essentiellement $\mu$-intégrable et que $\int \Phi_t d\mu(t) \in F$ (en utilisant le th. de Lebesgue, se ramener à appliquer le cor. 1 du th. 1). Cas particulier où $H = \mathbf{R}$.