Bài tập 16, § 1

Cho $F$ là một không gian Banach, $F'$ là không gian đối ngẫu của nó. Với mỗi $p$ sao cho $1 \leq p \leq +\infty$, ký hiệu $\Lambda_{F'}^p(T, \mu)$ (hoặc đơn giản là $\Lambda_{F'}^p$) là tập hợp các ánh xạ $f$ của $T$ vào $F'$ sao cho, với mọi $z \in F$, hàm số $\langle z, f \rangle$ thuộc $L^p(T, \mu)$. Ta có $\Lambda_{F'}^p \supset L_{F'}^p$, và $\Lambda_{F'}^1$ là không gian các hàm với giá trị trong $F'$ khả tích $\mu$-từng vô hướng hầu khắp ($F'$ được trang bị bởi $\sigma(F', F)$). Ta biết rằng, ký hiệu $\theta(z)$ là lớp của $\langle z, f \rangle$ trong $L^p(\mu)$, ánh xạ $z \mapsto \theta(z)$ là liên tục (No. 4, Bổ đề 2); gọi $M_p(f)$ là chuẩn của nó; đây là một chuẩn nửa trên không gian $\Lambda_{F'}^p$. Để $M_p(f) = 0$, điều kiện cần và đủ là $f$ không đáng kể địa phương từng vô hướng.

a) Để $f \in \Lambda_{F'}^p$, điều kiện cần và đủ là với mọi hàm số $g \in L^q$, hàm $gf$ là khả tích $\mu$-từng vô hướng hầu khắp; khi đó ta có $M_1(gf) \leq M_p(f) N_q(g)$.

b) Trong không gian $\Lambda_{F'}^1$, chứng minh rằng chuẩn nửa $M_1$ tương đương với chuẩn nửa $M'_1(f) = \sup |\int_A f d\mu|$, trong đó $A$ chạy trên tập hợp các tập con đo được của $T$; chính xác hơn, $M'_1 \leq M_1 \leq 2M'_1$. Suy ra từ đó rằng $M_p$ là một chuẩn nửa tương đương với $M'_p(f) = \sup_{N_q(g) \leq 1} M'_1(gf)$.

c) Lấy $F$ là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn đếm được, và lấy $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ của $T$ vào $F$, không khả tích nhưng khả tích từng vô hướng, là giới hạn đối với chuẩn nửa $M_1$ của một dãy các hàm bậc thang đo được (xem Bài tập 11); từ đó, suy ra rằng trên không gian $L_{F'}^1$ của các hàm khả tích đối với $\mu$, tôpô xác định bởi chuẩn nửa $M_1$ thực sự thô hơn tôpô xác định bởi $N_1$. Kết quả tương tự cho các chuẩn nửa $M_p$ và $N_p$, với $1 \leq p < +\infty$.

d) Chứng minh rằng trên không gian $L_{F'}^\infty$, $M_\infty = N_\infty$.

e) Lấy $F$ là một không gian Hilbert có một cơ sở trực chuẩn đếm được, được sắp xếp thành một dãy kép $(e_{mn})$. Gọi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$. Gọi $u_m$ là ánh xạ từ $T$ vào $F$ sao cho $u_m(t) = e_{mn}$ đối với $(n-1)2^{-m} \leq t < n2^{-m}$ và đối với $1 \leq n \leq 2^m$, và $u_m(1) = 0$; đặt $f_n = \sum_{i=0}^n u_i$. Chứng minh rằng, với $1 \leq p < +\infty$, $(f_n)$ là một dãy Cauchy trong $\Lambda_{F'}^p$, nhưng không hội tụ đến bất kỳ hàm nào trong $\Lambda_{F'}^p$.

f) Cho $(f_n)$ là một dãy Cauchy trong không gian $\Lambda_{F'}^p$ ($1 \leq p \leq +\infty$); giả sử rằng tồn tại một ánh xạ $f$ từ $T$ vào $F'$ sao cho, với mọi $z \in F$, dãy các hàm $\langle z, f_n \rangle$ hội tụ theo độ đo đến $\langle z, f \rangle$ (Ch. IV, §5, No. 11). Chứng minh rằng $f \in \Lambda_{F'}^p$ và dãy $(f_n)$ có giới hạn $f$ trong $\Lambda_{F'}^p$.

g) Lấy $F$ là không gian Banach $L^1(\mathbf{N})$ của các chuỗi hội tụ tuyệt đối; đối ngẫu của nó là $F' = L^\infty(\mathbf{N})$ (TVS, IV, §1, Bài tập 1). Gọi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$. Gọi $f$ là ánh xạ từ $T$ vào $F'$ sao cho $f(0) = 0$ và, đối với $2^{-n-1} < t \leq 2^{-n}$, $f(t)$ là dãy mà tất cả các số hạng của nó đều bằng không, ngoại trừ số hạng có chỉ số $n$, bằng $2^n/p$ đối với $1 \leq p < +\infty$. Chứng minh rằng $f$ đo được đối với tôpô mạnh trên $F'$, và thuộc về $\Lambda_{F'}^p$, nhưng không tồn tại bất kỳ dãy $(f_n)$ nào gồm các hàm bậc thang hội tụ đến $f$ trong không gian $\Lambda_{F'}^p$.