Exercice 16, § 1

Soient F un espace de Banach, F' son dual. Pour tout p tel que 1 ≤ p ≤ +∞, on désigne par Λ_{F'}^{p}(T, μ) (ou simplement par Λ_{F'}^{p}) l'ensemble des applications f de T dans F' telles que, pour tout z ∈ F, la fonction numérique ⟨z, f⟩ appartienne à L^{p}(T, μ). On a Λ_{F'}^{p} ⊃ L_{F'}^{p}, et Λ_{F'}^{1} est l'espace des fonctions scalairement essentiellement μ-intégrables, à valeurs dans F' (F' étant muni de σ(F', F)). On sait que, si on désigne par θ(z) la classe de ⟨z, f⟩ dans L^{p}(μ), l'application z → θ(z) est continue (n° 4, lemme 2) ; soit M_{p}(f) sa norme ; c'est une semi-norme sur l'espace Λ_{F'}^{p}. Pour que M_{p}(f) = 0, il faut et il suffit que f soit scalairement localement négligeable.

a) Pour que f ∈ Λ_{F'}^{p}, il faut et il suffit que, pour toute fonction numérique g ∈ L^{q}, la fonction gf soit scalairement essentiellement μ-intégrable ; on a alors M_{1}(gf) ≤ M_{p}(f)N_{q}(g).

b) Dans l'espace Λ_{F'}^{1}, montrer que la semi-norme M_{1} est équivalente à la semi-norme M_{1}'(f) = sup | ∫_{A} f dμ |, où A parcourt l'ensemble des parties mesurables de T ; de façon précise, on a M_{1}' ≤ M_{1} ≤ 2M_{1}'. En déduire que M_{p} est une semi-norme équivalente à M_{p}'(f) = sup_{N_{q}(g) ≤ 1} M_{1}'(gf).

c) On prend pour F un espace hilbertien ayant une base orthonormale dénombrable, pour μ la mesure de Lebesgue sur T = (0, 1). Montrer qu'il existe une application de T dans F, non intégrable mais scalairement intégrable, et qui soit limite pour la semi-norme M_{1} d'une suite de fonctions étagées mesurables (cf. exerc. 11) ; en déduire que, sur l’espace $\mathscr{T}_F^1$ des fonctions $\mu$-intégrables, la topologie définie par la semi-norme $M_1$ est strictement moins fine que celle définie par $N_1$. Résultat analogue pour les semi-normes $M_p$ et $N_p$, pour $1 \leq p < +\infty$.

d) Montrer que, sur l’espace $\mathscr{T}_F^p$, on a $M_\infty = N_\infty$.

e) On prend pour $F$ un espace hilbertien ayant une base orthonormale dénombrable rangée en une suite double $(\mathbf{e}_{mn})$. Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = (0, 1)$. Soit $\mathbf{u}_m$ l’application de $T$ dans $F$ telle que $\mathbf{u}_m(t) = \mathbf{e}_{mn}$ pour $(n-1)2^{-m} \leq t < n2^{-m}$ et $1 \leq n \leq 2^m$, et $\mathbf{u}_m(1) = 0$; on pose $\mathbf{f}_n = \sum_{i=0}^n \mathbf{u}_i$. Montrer que, pour $1 \leq p < +\infty$, $(\mathbf{f}_n)$ est une suite de Cauchy dans $\Lambda_{F'}^p$, mais ne converge vers aucune fonction de $\Lambda_{F'}^p$.

f) Soit $(\mathbf{f}_n)$ une suite de Cauchy dans l’espace $\Lambda_{F'}^p$ ($1 \leq p \leq +\infty$); on suppose qu’il existe une application $\mathbf{f}$ de $T$ dans $F'$ telle que, pour tout $\mathbf{z} \in F$, la suite des fonctions $\langle \mathbf{z}, \mathbf{f}_n \rangle$ converge en mesure vers $\langle \mathbf{z}, \mathbf{f} \rangle$ (chap. IV, § 6, exerc. 11). Montrer que $\mathbf{f} \in \Lambda_{F'}^p$, et que la suite $(\mathbf{f}_n)$ a pour limite $\mathbf{f}$ dans $\Lambda_{F'}^p$.

g) On prend pour $F$ l’espace de Banach $L^1(\mathbf{N})$ des séries absolument convergentes ; son dual est $F' = L^\infty(\mathbf{N})$ (Esp. vect. top., chap. IV, § 1, exerc. 1). Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = (0, 1)$. Soit $\mathbf{f}$ l’application de $T$ dans $F'$ telle que $\mathbf{f}(0) = 0$ et, pour $2^{-n-1} < t \leq 2^{-n}$, $\mathbf{f}(t)$ est la suite dont tous les termes sont nuls, sauf le terme de rang $n$, égal à $2^{n/p}$ pour $1 \leq p < +\infty$. Montrer que $\mathbf{f}$ est mesurable pour la topologie forte sur $F'$, et appartient à $\Lambda_{F'}^p$, mais qu’il n’existe aucune suite $(\mathbf{f}_n)$ de fonctions étagées qui tende vers $\mathbf{f}$ dans l’espace $\Lambda_{F'}^p$.