Bài tập 21, § 1

Cho $f$ là một ánh xạ khả tích tốt theo vô hướng từ $T$ vào một không gian lồi địa phương Hausdorff nửa đầy đủ $F$. a) Chứng minh rằng ảnh của quả cầu đơn vị của $L^\infty$ qua ánh xạ $g \mapsto \int gf\, d\mu$ là một tập con tương đối compact của $F$ đối với tôpô ban đầu, trong mỗi trường hợp sau: $1^\circ$ tồn tại một tập con trù mật đếm được của $F$; $2^\circ$ $F$ là đối ngẫu $G'$ của một không gian $G$ hoặc là mêtric hóa được hoặc là giới hạn trực tiếp ngặt của một dãy các không gian mêtric hóa được, và $F$ được trang bị tôpô $\tau(G', G)$. (Sử dụng Bài tập 19 c) và Bài tập 20; trong trường hợp $2^\circ$, sử dụng định lý Smulian (TVS, IV, §5, Bài tập 2 c)).) b) Chứng minh rằng kết luận của a) vẫn đúng khi, không có giả thiết mới nào về $F$, ta giả sử $f$ là đo được. (Nhúng $F$ vào một tích của các không gian Banach, rút gọn về trường hợp $F$ là một không gian Banach; sau đó, dùng Bài tập 19 a), rút gọn về trường hợp $T$ là compact; rồi áp dụng trường hợp $1^\circ$ của a).)