Exercice 21, § 1

Soit $f$ une application scalairement bien intégrable de $T$ dans un espace localement convexe séparé quasi-complet $F$.

a) Montrer que l’image par $g \mapsto \int^* g f d\mu$ de la boule unité de $L^\infty$ est une partie relativement compacte de $F$ pour la topologie initiale, dans chacun des cas suivants : $1^o$ il existe une partie dénombrable partout dense dans $F$; $2^o$ $F$ est le dual $G'$ d’un espace $G$, qui est métrisable ou limite inductive stricte d’une suite d’espaces métrisables, et $F$ est muni de la topologie $\tau(G', G)$. (Utiliser l’exerc. 19 c) et l’exerc. 20 ; dans le cas $2^o$, utiliser le th. de Šmulian (Esp. vect. top., chap. IV, § 2, exerc. 13 c)).

b) Montrer que la conclusion de a) est encore valable lorsque, sans hypothèse nouvelle sur $F$, on suppose que $f$ est mesurable. (En plongeant $F$ dans un produit d’espaces de Banach, se ramener au cas où $F$ est un espace de Banach ; puis, en utilisant l’exerc. 19 a), se ramener au cas où $T$ est compact ; appliquer alors le cas $1^o$ de a)).