Bài tập 22, § 1

Trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $F$, cho $(z_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ sao cho ánh xạ $\alpha \mapsto z_\alpha$ là khả tích tốt theo vô hướng (Bài tập 19) khi $A$ được trang bị độ đo xác định bởi khối lượng +1 tại mỗi điểm. a) Chứng minh rằng họ $(z_\alpha)$ là khả tổng đối với mọi tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với đối ngẫu giữa $F$ và $F'$ (sử dụng Bài tập 19 a)). Đảo lại khi $F$ là gần đầy đủ đối với $\mathscr{T}$. b) Giả sử rằng $F = G'$, $F' = G$, trong đó $G$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff sao cho trong $G'$ tồn tại một tập con đếm được trù mật mạnh. Chứng minh rằng khi đó $(z_\alpha)$ là khả tổng đối với tôpô mạnh trên $G'$ (tôpô này không nhất thiết tương thích với đối ngẫu giữa $G'$ và $G$ (xem Bài tập 19d)). Chứng minh rằng kết quả này không mở rộng được đến trường hợp $G = L^1(\mathbf{N})$, $G' = L^\infty(\mathbf{N})$.