Exercice 22, § 1

Dans un espace localement convexe séparé $F$, soit $(z_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille telle que l’application $\alpha \to z_\alpha$ soit scalairement bien intégrable (exerc. 19) lorsqu’on munit $A$ de la mesure définie par la masse $+1$ en chaque point.

a) Montrer que la famille $(z_\alpha)$ est sommable pour toute topologie $\mathscr{T}$ compatible avec la dualité entre $F$ et $F'$ (utiliser l’exerc. 19 a)). Réciproque lorsque $F$ est quasi-complet pour $\mathscr{T}$.

b) On suppose $F = G', F' = G$, où $G$ est un espace localement convexe séparé tel qu’il existe dans $G'$ une partie dénombrable fortement partout dense. Montrer alors que $(z_\alpha)$ est sommable pour la topologie forte sur $G'$ (qui n’est pas nécessairement compatible avec la dualité entre $G'$ et $G$) (cf. exerc. 19 d)). Montrer que ce résultat ne s’étend pas au cas où $G = L^1(\mathbf{N}), G' = L^\infty(\mathbf{N})$.